Acarretamento

Em lógica, o acarretamento (ou implicação lógica ou consequência semântica) é uma relação entre sentenças de uma linguagem formal de tal forma que se ${\boldsymbol {\Gamma }}$ é um conjunto de sentenças e se ${\boldsymbol {\alpha }}$ é uma sentença, então podemos concluir que a sentença ${\boldsymbol {\alpha }}$ é verdadeira desde que todas as sentenças em ${\boldsymbol {\Gamma }}$ o sejam.

Em símbolos,

${\boldsymbol {\Gamma }}\vDash {\boldsymbol {\alpha }}$

significa que o conjunto de sentenças de ${\boldsymbol {\Gamma }}$ acarreta, ou tem como consequência semântica, a sentença ${\boldsymbol {\alpha }}$. Note que o acarretamento é uma relação semântica.

Tome como exemplo as seguintes sentenças:

(a) Dexter é americano.
(b) Dexter é um assassino.
(c) Dexter é um assassino americano.

Se as afirmações (a) e (b) são verdadeiras, nós sabemos que (c) é verdadeira. Podemos dizer que:

(a) , (b) $\vDash$ (c)

(a) e (b) acarretam (c) porque a situação descrita por (c) segue da situação descrita por (a) e (b) juntas.

De uma forma mais técnica, podemos dizer que ${\boldsymbol {\Gamma }}$ acarreta ${\boldsymbol {\alpha }}$ se para toda atribuição de valores verdade P tal que ${\mathcal {V}}_{P}(\beta )=1$ para toda proposição $\beta \in {\boldsymbol {\Gamma }}$, então ${\mathcal {V}}_{P}(\alpha )=1$.

Exemplo 1

$\alpha ,\alpha \to \beta \vDash \beta$

De fato, ${\mathcal {V}}_{P}(\alpha \to \beta )=0$ se , e somente se, ${\mathcal {V}}_{P}(\alpha )=1$ e ${\mathcal {V}}_{P}(\beta )=0$. Portanto, se ${\mathcal {V}}_{P}(\alpha \to \beta )=1$ e ${\mathcal {V}}_{P}(\alpha )=1$, então necessariamente ${\mathcal {V}}_{P}(\beta )=1$. Assim, dizemos que o conjunto de sentenças { $\alpha ,\alpha \to \beta$ } acarreta a sentença ${\boldsymbol {\beta }}$.

Exemplo 2

Tome $A=\{\forall x\exists y:x=y\}$ e $B=\{\exists x:x=x\}$. Então A não acarreta B, uma vez que um domínio vazio é um modelo de A mas não é um modelo de B. Ou seja, não é o caso que todos os modelos de A são modelos de B.

Relação entre acarretamento e dedução

Idealmente, acarretamento e dedução são extensionalmente equivalentes. Contudo, isso não é sempre o caso.

Um sistema dedutivo S é completo para a linguagem L se e somente se $A\models _{L}X$ implica $A\vdash _{S}X$: isto é, se todos os argumentos válidos são dedutíveis (ou prováveis) onde $\vdash _{S}$ denota a relação de deducibilidade para o sistema S.

Um sistema dedutivo S é correto para uma linguagem L se e somente se $A\vdash _{S}X$ implica $A\models _{L}X$: isto é, se argumentos não-inválidos são prováveis.

Relação com condição lógica

Em alguns casos, acarretamento corresponde à condição lógica (denotado por $\supset$) da seguinte forma: na lógica clássica, $A\vDash B$ se e somente se existem alguns subconjuntos finitos $\{A_{1},\dots ,A_{n}\}$ de A e $\{B_{1},\dots ,B_{m}\}$ de B onde $\varnothing \models A_{1}\land \dots \land A_{n}\supset B_{1}\lor \dots \lor B_{m}$.

Bibliografia

• Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2007), Lógica para a Ciência da Computação, Versão Preliminar, Natal, RN.