Campo conservativo

Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Campos conservativos têm a propriedade de sua integral de linha apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha. Exemplos de campos conservativos são a gravidade e um campo elétrico fora da ação de campos magnéticos. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do $\mathbb {R} ^{3}$ e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.

Campos vetoriais conservativos aparecem naturalmente na mecânica: são campos vetoriais que representam as forças de sistemas físicos onde a energia é conservada. Nesses sistemas, o trabalho realizado para mover uma partícula no espaço depende apenas dos pontos final e inicial. Em outras palavras, é possível definir uma energia potencial que seja independente do caminho utilizado.

Definição

Um campo vetorial ${\vec {F}}$é chamado de campo vetorial conservativo se e somente se existe uma função escalar $\varphi$, chamada de potencial, de tal forma que o gradiente de $\varphi$seja ${\vec {F}}$ (${\vec {F}}=\nabla \varphi$). Isso implica que qualquer campo gradiente, da forma ${\vec {F}}=\nabla \varphi$, é um campo conservativo.

Demonstração

$$\varphi (x_{0},y_{0},z_{0})=\int _{0}^{x_{0}}F_{1}(x,0,0)\,dx+\int _{0}^{y_{0}}F_{2}(x_{0},y,0)\,dy+\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz$$

$${\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\int _{0}^{x_{0}}F_{1}(x,0,0)\,dx+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\int _{0}^{y_{0}}F_{2}(x_{0},y,0)\,dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz$$

$${\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}=0+0+F_{3}(x_{0},y_{0},z_{0})$$

(Teorema Fundamental do Cálculo) Analogamente:

$${\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}=0+F_{2}(x_{0},y_{0},0)+{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz$$

onde

$${\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz=\int _{0}^{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz$$

e, usando que, para campos conservativos

$$\nabla \times \mathbf {F} =0$$

temos que ${\frac {\partial F_{3}}{\partial y_{0}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial z_{0}}}$ Logo:

$$\int _{0}^{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz=\int _{0}^{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}F_{2}(x_{0},y_{0},z)\,dz=F_{2}(x_{0},y_{0},z_{0})-F_{2}(x_{0},y_{0},0)$$

E

$${\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}=F_{2}(x_{0},y_{0},z_{0})$$

Agora, olhando para $x_{0}$

$${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},0,0)+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\int _{0}^{y_{0}}F_{2}(x_{0},y,0)\,dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz$$

Analogamente a ${\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}$

$${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},0,0)+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\int _{0}^{y_{0}}F_{1}(x_{0},y,0)\,dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\int _{0}^{z_{0}}F_{1}(x_{0},y_{0},z)\,dz$$

$${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},y_{0},z_{0})$$

Então, se

$${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},y_{0},z_{0}),$$

$${\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}=F_{2}(x_{0},y_{0},z_{0})$$

e

$${\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}=F_{3}(x_{0},y_{0},z_{0})$$

$$\nabla \varphi =F$$

Se $\varphi$ é uma função explícita de x,y,z então F(x,y,z) = ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}$i+ ${\frac {\partial \varphi }{\partial y}}$j + ${\frac {\partial \varphi }{\partial z}}$k. Se $\varphi$ é uma função implícita de x,y,z através de r = ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ , isto é, $\varphi$(r) = $\varphi$(r(x,y,z)) então é necessário usar a regra da cadeia para calcular o gradiente do potencial $\varphi$. Potenciais desta forma são ditos potenciais centrais.

Campos vetoriais irrotacionais

Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:

$\nabla \times \mathbf {v} =\nabla \times \nabla \varphi ={\vec {0}}$

isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior $\displaystyle d^{2}=0$ nos mostra que toda forma exata é fechada.

A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:

$H_{dR}^{1}={\frac {\operatorname {Nuc} \{d\colon \Omega ^{1}\to \Omega ^{2}\}}{\operatorname {Im} \{d\colon \Omega ^{0}\to \Omega ^{1}\}}}$.

No caso considerado aqui, $H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{3})=0$ e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de $\mathbb {R} ^{3}$ que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo $\mathbb {R} ^{3}$, isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac $\mathbb {R} ^{3}-\{(0,0,z)~|~z\in \mathbb {R} \}$ que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.

Independência de caminho

Seja ${\vec {F}}$ um campo vetorial conservativo, ou seja , ${\vec {F}}={\vec {\bigtriangledown }}\varphi$, definido em uma região R do espaço e uma curva C, dada por ${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}$, contínua por partes em R, com início em $p_{0}(x_{o},y_{o},z_{o})$e extremidade em $P(x,y,z)$, então:

$\int _{C}^{}{\vec {F}}_{cons}\centerdot d{\vec {r}}=\varphi (x,y,z)-\varphi (x_{o},y_{o},z_{o})$

Demonstração

Partindo-se da expressão:

${\vec {F}}_{cons}={\vec {\nabla }}\varphi ={\partial \varphi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \varphi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \varphi \over \partial z}{\vec {k}}$

Dada a curva C

${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}$

Então

$d{\vec {r}}={\biggr (}{dx \over dt}{\vec {i}}+{dy \over dt}{\vec {j}}+{dz \over dt}{\vec {k}}{\biggr )}dt$

Aplicando a Regra da cadeia

${\vec {F}}_{cons}\centerdot d{\vec {r}}={\partial \varphi \over \partial x}{dx \over dt}dt+{\partial \varphi \over \partial y}{dy \over dt}dt+{\partial \varphi \over \partial z}{dz \over dt}dt$

Logo:

${\vec {F}}_{cons}\centerdot d{\vec {r}}\equiv d\varphi$

E,

$\int _{C}^{}{\vec {F}}_{cons}\centerdot d{\vec {r}}=\int _{C}d\varphi =\int _{P_{o}}^{P}d\varphi =\varphi (P)-\varphi (P_{o})$

Sempre que o campo for conservativo, o Trabalho será dado pela diferença de potencial, ou seja , o trabalho é independente do caminho realizado e dependerá apenas dos pontos inicial e final que unem a curva C.

Caso a curva C seja uma curva fechada, o ponto inicial coincide com o ponto final e o trabalho será nulo.

Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:

$\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} =\oint _{\mathcal {C}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {x} =0$

Exemplo

Dado o campo

${\vec {F}}(x,y)=2xy^{3}{\vec {i}}+(1+3x^{2}y^{2}){\vec {j}}$

calcular o trabalho ($W$) realizado para deslocar uma partícula de $P_{1}(1,4)$ até $P_{2}(3,1)$:

Primeiro, verificamos se ${\vec {F}}(x,y)$ é conservativo.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\2xy^{3}&1+3x^{2}y^{2}&F_{z}\end{matrix}}\right|={\vec {0}}$

Como ${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\vec {0}}$, o campo é conservativo, logo, permite uma função potencial dada por ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\varphi$

$2xy^{3}{\vec {i}}+(1+3x^{2}y^{2}){\vec {j}}=-{d\varphi \over dx}{\vec {i}}-{d\varphi \over dy}{\vec {j}}$

$-{d\varphi \over dx}=2xy^{3}$

$-\varphi _{x}=x^{2}y^{3}+C(y)$

$-{d\varphi \over dy}=3x^{2}y^{2}+C'(y)=1+3x^{2}y^{2}$

$C'(y)=1$

$C(y)=y$

Logo, $\varphi _{x}=-x^{2}y^{3}-y$

Como o campo é conservativo, o $W$ realizado para deslocar uma partícula independe do caminho C, e é calculado pela diferença de potencial entre $P_{1}$ e $P_{2}$

$W=\varphi (P_{2})-\varphi (P_{1})$

$W=(-3^{2}.1^{3}-1)-(-1^{2}.4^{3}-4)=-10+68$

Logo, $W=58$

Interpretação física

Mecânica

Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever:

$\mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}\Rightarrow -\nabla {V}=m\nabla \left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\right)^{2}\right]\Rightarrow \nabla (V+T)=0\Rightarrow E=cte.$

onde $T={\frac {m}{2}}\left({\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\right)^{2}$ é a energia cinética e $\displaystyle E=T+V$ é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.

O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:

$\displaystyle W=-\Delta {V}$

Alguns exemplos de forças conservativas são:

• Gravitação universal de Newton

A força gravitacional sobre um corpo pontual de massa $\displaystyle m$ em $\displaystyle \mathbf {r}$ devido a um corpo pontual de massa $\displaystyle M$ em $\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }$ é:

$\mathbf {F} =-GmM{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}\Rightarrow V=-GmM{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}$

A força coulombiana, que tem a mesma dependência funcional, também é conservativa, como discutido abaixo.

• Força elástica

Uma deformação elástica que obedeça à Lei de Hooke apresenta uma força de restauração conservativa:

$\mathbf {F} =-k\mathbf {x} \Rightarrow V={\frac {1}{2}}k|\mathbf {x} |^{2}$

Eletromagnetismo

As equações de Maxwell, especificamente $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {t}}}$, mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo, ou seja, $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {t}}}=0$. As curvas de nível do potencial elétrico $\displaystyle V=cte$ são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica $\mathbf {F} =q\mathbf {E}$ é uma força conservativa.

A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).

Mecânica quântica

Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger

$i\hslash {\frac {\partial \psi }{\partial {t}}}=-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi$

A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.

Ver também

• Força conservativa

Bibliografia

• Lima, E.L.; (2005). Curso de Análise, vol 2. segunda ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 85-244-0049-8  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Nakahara, M.; (2003). Geometry, Topology and Physics. segunda ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-0750306065  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Frankel, T.; (2003). The Geometry of Physics: An Introduction. segunda ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521539272  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Strauch, Irene Strauch (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento De Matemática Pura e Aplicada - UFRGS