Coeficiente de expansão adiabática

O coeficiente de expansão adiabática, representado pela letra grega γ, é a razão entre a capacidade térmica a pressão constante e a capacidade térmica a volume constante:^[3]

\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}

Nessa transformação, o sistema não troca calor com o meio externo; o trabalho realizado é graças à variação de energia interna. Numa expansão adiabática, o sistema realiza trabalho sobre o meio e a energia interna diminui. Na expansão adiabática ocorre um abaixamento de temperatura.^[3]

A partir da Lei dos gases ideais e outras equações de termodinâmica pode-se chegar as equações:^[4]

$PV^{\gamma }=constante$

$TV^{\gamma -1}=constante$

$T^{\gamma }P^{1-\gamma }=constante$

Onde P é a pressão do gás, V é o volume do gás e T é a temperatura do gás.

Sistema adiabático editar

Um sistema adiabático é definido como aquele em que não há troca de calor entre o sistema e o meio, ou seja, todo o trabalho realizado pelo gás provém de sua energia interna:

$W=-\Delta U$

Se um sistema se expande adiabaticamente, o trabalho do sistema é positivo, logo a energia interna do sistema diminui e por consequência sua temperatura também diminui. Se o sistema se contrai adiabaticamente, o trabalho do sistema é negativo, a energia interna aumenta e sua temperatura também aumenta.^[5]

O processo adiabático é possível se o sistema estiver isolado termicamente (com paredes adiabáticas) ou se o trabalho é realizado tão rapidamente que não há

Quando um spray é utilizado, o gás se expande adiabaticamente e resfria.

tempo para o sistema trocar calor com o meio.^[4]

Exemplos de processos adiabáticos editar

São exemplos de processos adiabáticos a formação de uma névoa na abertura de uma garrafa de refrigerante ou alguma outra bebida com gás, o aquecimento da bomba de encher pneus ao se utilizá-la e o resfriamento do gás de um desodorante quando ele sai do spray. Processos adiabáticos também são importantes no estudo do aquecimento e resfriamento de gases na atmosfera terrestre.

Relação com graus de liberdade editar

Como $Cp$ e $Cv$ variam conforme o número de graus de liberdade do gás, o coeficiente de expansão adiabática também varia.

$Cv=(f/2)R$

$Cp=(f/2)R+R$

Onde $f$ são os graus de liberdade. A partir disso podemos tomar

$\gamma =1+{\frac {2}{f}}\qquad {\mbox{ou}}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}$

Para gases monoatômicos ideais, existem 3 graus de liberdade:

$Cp/Cv={\frac {5R/2}{3R/2}}=5/3=1,666...=\gamma _{monoatomico}$

Para gases diatômicos ideais, existem 5 graus de liberdade:

$Cp/Cv={\frac {7R/2}{5R/2}}=7/5=1,4=\gamma _{diatomico}$

Em gases reais, o valor dos calores específicos a volume constante e a pressão constante variam em função da temperatura, então $\gamma$ será um valor aproximado do ideal (ver tabela).^[4]^[6]

Dedução das fórmulas editar

Imagine um sistema com um gás em um embolo hermeticamente fechado. Partindo da primeira lei da termodinâmica:

$\Delta U=Q-W$

Onde $\Delta U$ é a variação da energia interna, $Q$ é o calor trocado com o meio e $W$ é o trabalho realizado pelo gás.

Para variações infinitesimais e substituindo $dW$ por $PdV$ :

$dU=Q-PdV$

Supondo que o gás está termicamente isolado, $Q=0$ . Também podemos substituir $dU$ por $CvdT$ em que $n$ é o número de mols do gás e $dT$ é a variação infinitesimal da Temperatura. Após algumas alterações algébricas chegamos a

$dT=-(P/Cv)dV$

Dada a equação: $d(PV)=PdV+VdP=nRdT$ , onde $nR=Cp-Cv$ e substituindo o $dT$ da equação acima chega-se em:

$dP/P=-(Cp/Cv)dV/V$

Substituindo $\gamma =Cp/Cv$ , integrando ambos os lados e fazendo operações logarítmicas:

$PV^{\gamma }=constante$

Logo,

$P_{1}V_{1}^{\gamma }=P_{2}V_{2}^{\gamma }$

Para deixar em termos da temperatura e do volume, se substitui $P=nRT/V$ na equação anterior e se chega a fórmula

$TV^{\gamma -1}=constante$

pois $(nR)^{\gamma }$ é constante durante a expansão.

Para deixar em função da pressão e do volume, substitui-se $V=nRT/P$ na equação anterior e fazendo algumas substituições algébricas se encontra

${\textstyle T^{\gamma }P^{1-\gamma }=constante}$ ^[4]^[7]^[6]

Ver também editar

Referências editar

↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
↑ Lange's Handbook of Chemistry, 10ª ed. página 1524
↑ ^a ^b SERWAY, R.A.; JEWETT Jr., J.W (2004). Princípios de Física. 2. São Paulo: Cengage Learning. p. 609-611. ISBN 85-221-0413-1
↑ ^a ^b ^c ^d Halliday, David (2009). Fundamentos de Física Vol. 2 8 ed. [S.l.]: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. ISBN 978-85-216-1606-1
↑ Palandi, Joecir; Figueiredo, Dartanhan Baldez (2010). Teoria Cinética e Termodinâmica (PDF). [S.l.: s.n.]
↑ ^a ^b Estrada, Alejandro de (1964). Termodinamica Tecnica 2 ed. Buenos Aires: Libreria y Editorial Alsina
↑ Lee, John F.; Weston Sears, Francis (1969). Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA.

[1] White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill

[2] Lange's Handbook of Chemistry, 10ª ed. página 1524

[Serway-3] SERWAY, R.A.; JEWETT Jr., J.W (2004). Princípios de Física. 2. São Paulo: Cengage Learning. p. 609-611. ISBN 85-221-0413-1

[:0-4] Halliday, David (2009). Fundamentos de Física Vol. 2 8 ed. [S.l.]: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. ISBN 978-85-216-1606-1

[5] Palandi, Joecir; Figueiredo, Dartanhan Baldez (2010). Teoria Cinética e Termodinâmica (PDF). [S.l.: s.n.]

[:1-6] Estrada, Alejandro de (1964). Termodinamica Tecnica 2 ed. Buenos Aires: Libreria y Editorial Alsina

[7] Lee, John F.; Weston Sears, Francis (1969). Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA.

[3]

[1]

[2]

[4]

[5]

[6]

[7]

Coeficiente de Expansão adiabática para diversos gases^[1]^[2]
Temp.	Gás	γ	Temp.	Gás	γ	Temp.	Gás	γ
−181 °C	H₂	1.597	200 °C	Ar seco	1.398	20 °C	NO	1.400
−76 °C		1.453	400 °C		1.393	20 °C	N₂O	1.310
20 °C		1.410	1000 °C		1.365	−181 °C	N₂	1.470
100 °C		1.404	2000 °C		1.088	15 °C	N₂	1.404
400 °C		1.387	0 °C	CO₂	1.310	20 °C	Cl₂	1.340
1000 °C		1.358	20 °C		1.300	−115 °C	CH₄	1.410
2000 °C		1.318	100 °C		1.281	−74 °C		1.350
20 °C	He	1.660	400 °C		1.235	20 °C		1.320
20 °C	H₂O	1.330	1000 °C		1.195	15 °C	NH₃	1.310
100 °C		1.324	20 °C	CO	1.400	19 °C	Ne	1.640
200 °C		1.310	−181 °C	O₂	1.450	19 °C	Xe	1.660
−180 °C	Ar	1.760	−76 °C		1.415	19 °C	Kr	1.680
20 °C	Ar	1.670	20 °C		1.400	15 °C	SO₂	1.290
0 °C	Ar seco	1.403	100 °C		1.399	360 °C	Hg	1.670
20 °C		1.400	200 °C		1.397	15 °C	C₂H₆	1.220
100 °C		1.401	400 °C		1.394	16 °C	C₃H₈	1.130