Condição de contorno de Neumann

Em matemática, a condição de contorno de Neumann (ou de segundo tipo) é um tipo de condição de contorno, nomeada devido a Carl Neumann. Quando aplicada a uma equação diferencial ordinária ou parcial, especifica os valores que a derivada de uma solução deve tomar no contorno do domínio. Enquanto a Condição de contorno de Dirichlet especifica o valor da função no contorno, a condição de contorno de Neumann especifica a derivada normal à função no domínio, ou seja, é um fluxo.

No caso de uma equação diferencial ordinária, por exemplo tal como:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1$

no intervalo [0,1] as condições de contorno de Neumann tomam a forma:

${\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}$

${\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}$

onde α₁ e α₂ são números dados.

Para uma equação diferencial parcial em um domínio $\scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ tal como:

$\nabla ^{2}y=0$

onde $\nabla ^{2}$ denota o Laplaciano, a condição de contorno de Neumann toma a forma:

${\frac {\partial y}{\partial n}}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .$

Aqui, n denota a normal (tipicamente exterior) ao contorno ∂Ω e f é uma função escalar dada. A derivada normal a qual surge no lado esquerdo é definida como:

${\frac {\partial y}{\partial n}}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)$

onde $\scriptstyle \nabla$ é o (vetor) gradiente e o ponto é o produto interno com o vetor normal n.

Ver também

• Condição de contorno de Dirichlet
• Condição de contorno mista
• Condição de contorno de Cauchy
• Condição de contorno de Robin