Conjunto estacionário

Em matemática, especialmente na teoria dos conjuntos e teoria dos modelos, há pelo menos três noções de conjunto estacionário:

Noção clássica

Se $\kappa \,$ é um cardinal de incontável cofinalidade, $S\subseteq \kappa \,,$ e $S\,$ que intercepta cada conjunto clube em $\kappa \,,$ então $S\,$ é chamado um conjunto estacionário. Se um conjunto é não-estacionário, então ele é chamado um conjunto fino. Esta noção não deve ser confundida com a noção de um conjunto fino na teoria dos números.

Se $S\,$ é um conjunto estacionário e $C\,$ é um conjunto de clube, então a sua intersecção $S\cap C\,$ também é estacionária. Porque, se $D\,$ é qualquer conjunto de clube, então $C\cap D\,$ é um conjunto de clube porque a interseção de dois conjuntos de clube é clube. Assim $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,$ não é vazio. Portanto $(S\cap C)\,$ deve ser estacionária.

A restrição para cofinalidade incontável é, a fim de evitar trivialidades:

Suponha que $\kappa$ tem cofinalidade contável. Então $S\subset \kappa$ é estacionário em $\kappa$ se, e somente se, $\kappa \setminus S$ é limitado em $\kappa$.

Em particular, se a cofinalidade de $\kappa$ é $\omega =\aleph _{0}$, então todos os dois subconjuntos estacionários de $\kappa$ têm intersecção estacionária.

Este não é mais o caso se a cofinalidade de $\kappa$ é incontável. De facto, suponha $\kappa$ é regular e $S\subset \kappa$ é estacionário. Então, $S$ pode ser particionado em $\kappa$ vários conjuntos estacionários disjuntos. Este resultado é devido ao modelo de Robert M. Solovay.

Se $\kappa$ é um sucessor cardinal, este resultado é devido a Ulam e é facilmente demonstrado por meio da matriz de Ulam.

Noção generalizada

Esta noção é o modelo teórico na natureza e algumas vezes referido como a estacionaridade generalizada. Ela é provavelmente devida a Menachem Magidor, Foreman e Saharon Shelah e também tem sido utilizada proeminentemente por Woodin.

Seja $X$ um conjunto não vazio. Um conjunto $C\subset {\mathcal {P}}(X)$ é o clube (fechado e sem limites) se e somente se existe uma função $F:[X]^{<\omega }\to X$ de tal modo que $C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subset z\}$.

Neste caso, $[y]^{<\omega }$ é a coleção de subconjuntos finitos de $y$.

$S\subset {\mathcal {P}}(X)$ é estacionário em ${\mathcal {P}}(X)$ se e somente se reúne a cada subconjunto de clube ${\mathcal {P}}(X)$.

Para ver a conexão com a a teoria de modelos, observe que, se $M$ é uma estrutura com universo $X$ em uma linguagem calculáveis e $F$ é uma função Skolem para $M$, então, um estacionário $S$ deve conter uma subestrutura elementar de $M$.

Em verdade, $S\subset {\mathcal {P}}(X)$ é estacionário se e apenas se para qualquer tal estrutura $M$ existe uma subestrutura elementar de $M$ que pertença a $S$.

Noção de Jech

Existe também uma noção de subconjunto estacionária de $[X]^{\lambda }$, para $\lambda$ um cardinal e $X$ um conjunto de tal forma que $|X|\geq \lambda$, onde $|X|\geq \lambda$ é o conjunto de subconjuntos de $X$ da cardinalidade $\lambda$: $[X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}$. Esta noção é devida a Thomas Jech. Como antes, $S\subset [X]^{\lambda }$ é estacionário se e somente se encontra todos os clubes, onde um subconjunto do clube de $[X]^{\lambda }$ é um conjunto ilimitado sob $\subset$ e fechado sob união de cadeias de comprimento de no máximo $\lambda$. Em geral, estas noções são diferente, embora, para $X=\omega _{1}$ e $\lambda =\aleph _{0}$ elas coincidem no sentido de que $S\subset [\omega _{1}]^{\omega }$ é estacionário se e apenas se $S\cap \omega _{1}$ é estacionário em $\omega _{1}$.

A versão adequada do lema de Fodor também é válido para essa noção.

Notas e referências