Em espaços métricos , o conceito de conjuntos bem separados é mais forte que o conceito de desconexos . Dois conjuntos não vazio são ditos bem separados se a distância entre eles é positiva.
A e B são bem separados.
Seja
(
S
,
d
)
{\displaystyle \left(\mathbb {S} ,d\right)}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
S
{\displaystyle S\,}
ínfimo das distâncias entre um ponto do conjunto
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
dist
(
A
,
B
)
:=
inf
{
d
(
x
,
y
)
:
x
∈
A
,
y
∈
B
}
{\displaystyle {\hbox{dist}}(A,B):=\inf \left\{d(x,y):x\in A,~y\in B\right\}\,}
Se
dist
(
A
,
B
)
>
0
{\displaystyle {\hbox{dist}}(A,B)>0\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
conjuntos bem separados .
Conjuntos bem separados desconexos
editar
Seja
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
espaço métrico
(
S
,
d
)
{\displaystyle (\mathbb {S} ,d)\,}
δ
:=
1
3
dist
(
A
,
B
)
>
0
{\displaystyle \delta :={\frac {1}{3}}{\hbox{dist}}(A,B)>0\,}
Defina os conjuntos abertos :
O
A
=
⋃
x
∈
A
B
(
x
,
δ
)
{\displaystyle O_{A}=\bigcup _{x\in A}B(x,\delta )\,}
O
B
=
⋃
x
∈
B
B
(
x
,
δ
)
{\displaystyle O_{B}=\bigcup _{x\in B}B(x,\delta )\,}
onde
B
(
x
,
δ
)
{\displaystyle B(x,\delta )\,}
bola de centro
x
{\displaystyle x\,}
δ
{\displaystyle \delta \,}
B
(
x
,
δ
)
=
{
y
∈
S
:
d
(
x
,
y
)
<
δ
}
{\displaystyle B(x,\delta )=\{y\in \mathbb {S} :{\hbox{d}}(x,y)<\delta \}\,}
É fácil ver que
O
A
{\displaystyle O_{A}\,}
O
B
{\displaystyle O_{B}\,}
A
⊆
O
A
{\displaystyle A\subseteq O_{A}\,}
B
⊆
O
B
{\displaystyle B\subseteq O_{B}\,}
Propriedades
editar
Se
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
∩
B
≠
∅
{\displaystyle A\cap B\neq \emptyset \,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
Sejam
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}
μ
∗
(
A
∪
B
)
=
μ
∗
(
A
)
+
μ
∗
(
B
)
{\displaystyle \mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(B)\,}
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}\,}
medida exterior de Lebesgue .
