Constante de Euler-Mascheroni

uma constante matemática; o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural

A constante de Euler-Mascheroni (também chamada de constante de Euler) é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama (γ) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural, denotado aqui por log:

A área da região em azul converge para a constante de Euler-Mascheroni

Aqui, ⌊·⌋ representa a função piso.

O valor numérico da constante de Euler-Mascheroni The numerical value of Euler's constant, com 50 casas após a vírgula, é:[1]

0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...
Problema de matemática em aberto:

A constante de Euler-Mascheroni é irracional? Se for, é transcendente?

História editar

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).

Convergência editar

Como podemos escrever:

 

Como  

 

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

 
 

Essa última expressão corresponde à

 

Que é a série telescópica Dessa forma,

 

Propriedades editar

O número   não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se   é irracional ou não.[2] A análise de frações contínuas revela que se   é racional, seu denominador deve ser da ordem de  .[3] Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de   está os problemas abertos mais importantes da Matemática.

A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de   com funções, séries e integrais.

Representação Original (Euler) editar

Foi descoberta em 1734, por Euler, representando   como uma série infinita da seguinte forma:

 

Relação com a Função Gama editar

Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos - . O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:

 

também como o limite:

 

O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:

 

e como função beta:

 

Relação com a Função Zeta de Riemann editar

  pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:

 

Outras séries relacionadas com a função zeta são:

 

O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante   com extrema precisão.

Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:

 

Representação com Integrais editar

  é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:

 

Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante   estão:

 

 

Uma expressão em que se expressa   como uma integral dupla,[4] com sua série equivalente é:

 

Representação com Séries editar

Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:

 

encontrada por Nielsen em 1897.

Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a  :

 

onde [ ] é a função piso e   é o logaritmo de base 2 ;

Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:

 

que também pode ser escrita como:

 [5]

As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)

 

Representação em forma de fração contínua editar

A representação de   em termos de fração contínua é:

 

mais precisamente:

  (sequência A002852 na OEIS).

Referências

  1. Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A001620 (Decimal expansion of Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma)». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation 
  2. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. México: Editorial Limusa 
  3. Havil (2003). Título ainda não informado (favor adicionar). [S.l.: s.n.] p. 97 
  4. «Jonathan Sondow» 
  5. Krämer, Stefan. «Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History» 
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.