Curva de Viviani

Em matemática, particularmente geometria, a curva de Viviani, também conhecida como janela de Viviani, é uma curva no espaço figura em forma de oito nomeada em homenagem ao matemático italiano Vincenzo Viviani, a intersecção de uma esfera com um cilindro que é tangente à esfera e passa através do centro da esfera.

A curva de Viviani como intersecção de uma esfera e um cilindro.

A projeção da curva de Viviani sobre um plano perpendicular à linha através do ponto de cruzamento e do centro da esfera é a lemniscata de Gerono.

Fórmula

A curva pode ser obtida pela intersecção de uma esfera de raio $2a$ centrada na origem,

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\,$

com o cilindro centrado em $(a,0,0)$ de raio $a$ dado por

$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}.\,$

A curva de intersecção resultante, $V$, pode ser parametrizada por $t$ para dar a equação paramétrica da curva de Viviani:

$V(t)=\left\langle a(1+\cos(t)),a\sin(t),2a\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\right\rangle .$

Isto é uma clélia com $m=1$, onde $\theta ={\frac {t-\pi }{2}}$.

Ver também

• Intersecção esfera-cilindro