Derivada Fracionária de Riemann-Liouville

Derivada fracionária de Riemann-Liouville é uma das definições para derivada fracionária e é o operador inverso da Integral Fracionária de Riemann-Liouville. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, Riez e outras.

Definição

Definimos a derivada fracionária de Riemann-Liouville ($_{RL}D$), de ordem $\alpha$, com $n-1\leqslant {\mbox{Re}}(\alpha )\leqslant n$ como

$_{RL}D^{\alpha }f(t)\;=\ D^{n}[I^{n-\alpha }f(t)]$

em que $I$ é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e $D^{n}$ é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira $n$.

Nessa definição, a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária.

Exemplos e consequências

Exemplo 1

Caso $f(t)=t^{\beta }$, $\beta \neq 0$, a derivada arbitrária de ordem $\alpha$ é dada por:

$_{RL}D^{\alpha }t^{\beta }\;=\ {\dfrac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta -\alpha +1)}}t^{\beta -\alpha }$

em que $\Gamma$ é a Função gama.

Exemplo 1.1

Calculemos $_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}$ utilizando o exemplo anterior.

$_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {-1}{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {-1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}t^{-1}\;=\ 0$

pois $|\Gamma (0)|=\infty$.

Exemplo 1.2

Calculemos $_{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\right]$ pelo exemplo anterior.

$_{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[0\right]\;=\ 0.$

Exemplo 1.3

Calculemos $D^{1}t^{\frac {-1}{2}}$.

$D^{1}t^{\frac {-1}{2}}=-{\dfrac {t^{-3}{2}}{2}}$

Conclusão 1

Pelos dois exemplos anteriores concluímos que

$D^{\alpha }D^{\beta }f(t)\neq D^{\alpha +\beta }f(t).$

Exemplo 1.4

Calculemos $_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}$ utilizando o exemplo anterior.

$_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}+1)}}t^{-1}\;=\ 0$

Exemplo 1.5

Calculemos $_{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]$ pelo exemplo anterior.

$_{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[0\right]\;=\ 0.$

Exemplo 1.6

Calculemos $_{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]$ pelo exemplo anterior.

$_{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[{\dfrac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+1)}{\Gamma (0-{\frac {3}{2}}+1)}}t^{0}\right]\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})t^{\frac {-3}{2}}}{\Gamma \left(0-{\frac {3}{2}}+1\right)}}=-{\dfrac {1}{4}}t^{\frac {-3}{2}}=D^{2}t^{\frac {1}{2}}.$

Conclusão 2

Pelos dois exemplos anteriores concluímos que

$D^{\alpha }D^{\beta }f(t)\neq D^{\beta }D^{\alpha }f(t).$

Exemplo 2

Seja $f(t)=1=t^{0}$, temos:

$_{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ D^{n}[I^{n-\alpha }t^{0}]$

$_{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ D^{n}\left[{\dfrac {\Gamma (1)}{\Gamma (n-\alpha +1)}}t^{n-\alpha }\right]$

$_{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {\Gamma (1)}{\Gamma (n-\alpha +1)}}\left[{\dfrac {\Gamma (n-\alpha +1)}{\Gamma (1-\alpha )}}t^{-\alpha }\right]$

$_{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {t^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}.$

Nota importante

Observe que neste exemplo quando $\alpha$ não-inteiro a derivada de Riemann-Liouville é diferente de zero. Entretanto observe que para $\alpha \in \mathbb {N}$ como $(1-\alpha )\in \mathbb {Z_{-}}$ e $|\Gamma (1-\alpha )|\rightarrow 0$ a [derivada de Riemann-Liouville resulta em zero, i.e., recupera a derivada de uma constante do cálculo clássico.

Em particular, tomando $\alpha \;=\ {\frac {1}{2}}$,

$_{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {t^{-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\;=\ {\dfrac {1}{\sqrt {\pi t}}}$

Temos que a derivada de ordem não-inteira de Riemann-Liouville de uma constante não é zero.

Não localidade

Há uma diferença importantíssima entre o operador diferencial de ordem inteira e o operador diferencial fracionário de Riemann-Liouville, o primeiro é um operador local e o segundo, não .

Aplicação: Abel e a curva tautocrônica

Uma das soluções para Curva tautocrônica foi proposta por Niels Henrik Abel, em 1823, que é considerada a primeira aplicação do cálculo fracionário e baseia-se exatamente na derivada fracionária de Riemann-Liouville de ordem ${\frac {1}{2}}$ .