Seja
f
:
U
⊂
R
n
→
R
p
{\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}}
uma função contínua definida em um aberto,
U
{\displaystyle U}
de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. Sejam
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
e
h
∈
R
n
{\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}
tal que
a
+
h
∈
U
{\displaystyle a+h\in U}
. Denotem-se por:
[
a
,
a
+
h
]
=
{
a
+
t
h
,
t
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle [a,a+h]=\{a+th,t\in [0,1]\}}
(
a
,
a
+
h
)
=
{
a
+
t
h
,
t
∈
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle (a,a+h)=\{a+th,t\in (0,1)\}}
Se:
f
{\displaystyle f}
é contínua em
[
a
,
a
+
h
]
⊂
U
{\displaystyle [a,a+h]\subset U}
f
{\displaystyle f}
é diferenciável em
(
a
,
a
+
h
)
⊂
U
{\displaystyle (a,a+h)\subset U}
então vale:
‖
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
‖
≤
‖
h
‖
sup
t
∈
[
0
,
1
]
{
‖
f
′
(
a
+
t
h
)
‖
}
{\displaystyle \Vert f(a+h)-f(a)\Vert \leq \Vert h\Vert \sup _{t\in [0,1]}\{\Vert f'(a+th)\Vert \}}
Considere a função auxiliar
Φ
(
t
)
=
f
(
a
+
t
h
)
{\displaystyle \Phi (t)=f(a+th)}
. Basta mostrarmos que:
‖
ϕ
(
1
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
M
=
sup
{
‖
ϕ
′
(
t
)
‖
,
t
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq M=\sup\{\Vert \phi '(t)\Vert ,t\in [0,1]\}}
Mostraremos que
‖
ϕ
(
1
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
M
+
ε
∀
ε
>
0
{\displaystyle \Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq M+\varepsilon \,\,\,\forall \varepsilon >0}
Com efeito, considere o conjunto:
X
=
{
t
∈
[
0
,
1
]
,
‖
ϕ
(
s
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
(
M
+
ε
)
s
∀
s
∈
[
0
,
t
]
}
{\displaystyle X=\{t\in [0,1],\Vert \phi (s)-\phi (0)\Vert \leq (M+\varepsilon )s\,\,\forall s\in [0,t]\}}
É fácil ver que
X
≠
∅
{\displaystyle X\neq \varnothing }
, pois obviamente
0
∈
X
{\displaystyle 0\in X}
Ademais,
X
{\displaystyle X}
é um intervalo, pois dado
t
∈
X
{\displaystyle t\in X}
, para qualquer
0
≤
z
<
t
{\displaystyle 0\leq z<t}
temos que:
z
∈
{
t
∈
[
0
,
1
]
,
‖
ϕ
(
s
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
(
M
+
ε
)
s
∀
s
∈
[
0
,
z
]
⊂
[
0
,
t
]
}
{\displaystyle z\in \{t\in [0,1],\Vert \phi (s)-\phi (0)\Vert \leq (M+\varepsilon )s\,\,\forall s\in [0,z]\subset [0,t]\}}
ou seja,
z
∈
X
{\displaystyle z\in X}
Ademais, pela continuidade de
ϕ
{\displaystyle \phi }
pode-se verificar que
X
{\displaystyle X}
é fechado, i.e., que
sup
X
∈
X
{\displaystyle \sup X\in X}
Afirmamos que
sup
X
=
1
{\displaystyle \sup X=1}
. Com efeito, suponha, ab absurdo que
α
=
sup
X
<
1
{\displaystyle \alpha =\sup X<1}
. Então, para qualquer
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
dado acima existe um
0
<
δ
{\displaystyle 0<\delta }
tal que
α
+
δ
<
1
{\displaystyle \alpha +\delta <1}
. Ademais, como
ϕ
{\displaystyle \phi }
é diferenciável em
[
a
,
h
)
{\displaystyle [a,h)}
, segue que tomando
0
<
σ
<
δ
{\displaystyle 0<\sigma <\delta }
suficientemente pequeno, vale:
ϕ
(
α
+
σ
)
=
ϕ
(
α
)
+
ϕ
′
(
α
)
⋅
σ
+
r
(
σ
)
{\displaystyle \phi (\alpha +\sigma )=\phi (\alpha )+\phi '(\alpha )\cdot \sigma +r(\sigma )}
com
‖
r
(
σ
)
‖
<
ε
σ
{\displaystyle \Vert r(\sigma )\Vert <\varepsilon \sigma }
‖
ϕ
(
α
+
σ
)
−
ϕ
(
α
)
‖
≤
‖
ϕ
′
(
α
)
‖
σ
+
ε
σ
{\displaystyle \Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (\alpha )\Vert \leq \Vert \phi '(\alpha )\Vert \sigma +\varepsilon \sigma }
Como supusemos
α
∈
X
{\displaystyle \alpha \in X}
, também temos:
‖
ϕ
(
α
)
−
ϕ
(
0
)
‖
<
(
M
+
ε
)
σ
{\displaystyle \Vert \phi (\alpha )-\phi (0)\Vert <(M+\varepsilon )\sigma }
Assim, tem-se que
‖
ϕ
(
α
+
σ
)
−
ϕ
(
0
)
‖
=
‖
ϕ
(
α
+
σ
)
−
ϕ
(
α
)
+
ϕ
(
α
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
‖
ϕ
(
α
+
σ
)
−
ϕ
(
α
)
‖
+
‖
ϕ
(
α
)
−
ϕ
(
0
)
‖
<
(
M
+
ε
)
(
α
+
σ
)
{\displaystyle \Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (0)\Vert =\Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (\alpha )+\phi (\alpha )-\phi (0)\Vert \leq \Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (\alpha )\Vert +\Vert \phi (\alpha )-\phi (0)\Vert <(M+\varepsilon )(\alpha +\sigma )}
de modo que
α
+
σ
∈
X
{\displaystyle \alpha +\sigma \in X}
, o que é absurdo, pois
α
=
sup
X
{\displaystyle \alpha =\sup X}
.
Logo,
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
, e vale a desigualdade:
‖
ϕ
(
1
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
(
M
+
ε
)
1
{\displaystyle \Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq (M+\varepsilon )1}
Assim,
‖
ϕ
(
1
)
−
ϕ
(
0
)
‖
≤
M
{\displaystyle \Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq M}
e vale que:
‖
ϕ
(
1
)
−
ϕ
(
0
)
‖
=
‖
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
‖
≤
‖
h
‖
{
‖
ϕ
′
(
t
)
‖
,
t
∈
[
0
,
1
]
}
=
‖
h
‖
sup
{
‖
f
′
(
a
+
t
h
)
‖
|
0
≤
t
<
1
}
{\displaystyle \Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert =\Vert f(a+h)-f(a)\Vert \leq \Vert h\Vert \{\Vert \phi '(t)\Vert ,t\in [0,1]\}=\Vert h\Vert \sup\{\Vert f'(a+th)\Vert |0\leq t<1\}}
Q.E.D.