Distância entre duas retas paralelas

A distância entre duas retas paralelas no plano é a distância mínima entre quaisquer dois pontos.

Fórmula e demonstração

Como as retas são paralelas, a distância perpendicular entre elas é uma constante, portanto não importa qual ponto é escolhido para medir a distância. Dadas as equações de duas retas paralelas não verticais na forma reduzida

$y=mx+n_{1}\,$

$y=mx+n_{2}\,,$

a distância entre as duas linhas é a distância entre os dois pontos de interseção dessas linhas com a linha perpendicular

$y=-x/m\,.$

Essa distância pode ser encontrada resolvendo os sistemas lineares

${\begin{cases}y=mx+n_{1}\\y=-x/m\ ,\end{cases}}$

e

${\begin{cases}y=mx+n_{2}\\y=-x/m\,\end{cases}}$

para obter as coordenadas dos pontos de intersecção. As soluções dos sistemas lineares são os pontos

$\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-n_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {n_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,$

e

$\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-n_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {n_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.$

A distância entre os pontos é

$d={\sqrt {\left({\frac {n_{1}m-n_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{2}-n_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,$

que se reduz a

$d={\frac {|n_{2}-n_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.$

Quando as linhas dadas são da forma geral

$ax+by+c_{1}=0\,$

$ax+by+c_{2}=0,\,$

a distância entre elas pode ser expressa como

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Ver também

• Distância de um ponto a uma linha

Referências

• Abstand In: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004,ISBN 3-411-04275-3, pp. 17-19 (em alemão)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988,ISBN 3-425-05301-9, pág. 298 (em alemão)

Ligações externas

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel?, pp. 44-59 (em alemão)
• AJ Hobson: “APENAS AS MATEMÁTICAS” - UNIDADE NÚMERO 8.5 - VETORES 5 (Equações vetoriais de retas), pp. 8-9