Distribuição beta

Em teoria da probabilidade e estatística, a distribuição beta é uma família de distribuições de probabilidade contínuas definidas no intervalo $[0,1]$ parametrizado por dois parâmetros positivos, denotados por $\alpha$ e $\beta$, que aparecem como expoentes da variável aleatória e controlam o formato da distribuição.

Distribuição Beta
Função densidade de probabilidade para a distribuição Beta
Função de densidade acumulada para a distribuição Beta
Parâmetros	$\alpha >0\in \mathbb {R}$ $\beta >0\in \mathbb {R}$
Suporte	$x\in [0,1]$ ou $x\in (0,1)$
f.d.p.	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$ onde $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
f.d.a.	$I_{x}(\alpha ,\beta )$ (função Beta incompleta)
Média	$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ $\operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$
Mediana	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )$ $\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ para $\alpha ,\beta >1$
Moda	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ para $\alpha ,\beta >1$
Variância	$\operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ $\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$
Obliquidade	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Curtose	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
Entropia	${\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}$
Função Geradora de Momentos	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$

A distribuição beta tem sido aplicada para modelar o comportamento de variáveis aleatórias limitadas a intervalos de tamanho finito em uma grande quantidade de disciplinas.

Em Inferência bayesiana, a distribuição beta é a distribuição conjugada a priori da distribuição de Bernoulli, distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica. Por exemplo, a distribuição beta pode ser usada na análise bayesiana para descrever conhecimentos iniciais sobre a probabilidade de sucesso assim como a probabilidade de que um veículo espacial vai completar uma missão especificada. A distribuição beta é um modelo conveniente para comportamento aleatório de porcentagens e proporções.

Caracterização

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da distribuição beta, para $0\leq x\leq 1$ e parâmetros $\alpha$ e $\beta$ $>0$ é uma função exponencial da variável $x$ e de sua reflexão $(1-x)$ como segue:

${\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constante} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\\\&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\\\&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}$

onde $\Gamma (z)$ é a função gama. A função beta, $\mathrm {B}$, é uma constante de normalização para assegurar que a probabilidade total integre a 1. Nas equações acima $x$ é uma realização - um valor observado que de fato ocorreu - de um processo aleatório $X$.

Esta definição inclui os dois extremos $x=0$ e $x=1$, que é consistente com as definições para outras distribuições contínuas suportadas em um intervalo limitado que são casos especiais da distribuição beta, por exemplo a distribuição arcoseno, e consistente com diversos autores, como N. L. Johnson e S. Kotz. Entretanto, a inclusão de $x=0$ e $x=1$ não funciona para $\alpha ,\beta <1$; diversos autores, incluindo W. Feller, escolheram excluir os extremos $x=0$ e $x=1$ (portanto, os dois extremos não são realmente parte do domínio da função de densidade) e considerar ao invés $0<x<1$.

Diversos autores, incluindo N. L. Johnson e S. Kotz, usam os símbolos $p$ e $q$ (ao invés de $\alpha$ e $\beta$) para os parâmetros da distribuição de beta, reminiscente dos símbolos tradicionalmente usados dos parâmetros da distribuição de Bernoulli, porque a distribuição beta se aproxima da distribuição de Bernoulli no limite quando os dois parâmetros $\alpha$ e $\beta$ aproxima o valor de zero.

No seguinte, a variável aleatória $X$ distribuída sob a distribuição beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ irá ser denotada por :

$X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )$

Outras notações são $X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )$ e $X\sim \beta _{\alpha ,\beta }$.

Equação diferencial

A função densidade de probabilidade satisfaz a equação diferencial

$f'(x)=f(x)\,{\frac {(\alpha +\beta -2)x-(\alpha -1)}{(x-1)x}}.$

f.d.a. para a distribuição beta simétrica vs. $x$ e $\alpha$ = $\beta$

Função distribuição acumulada

A função distribuição acumulada é

${\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}\\\\&={\frac {\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt}{B(\alpha ,\beta )}}\\\\&=I_{x}(\alpha ,\beta )\end{aligned}}$

onde $\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )$ é a função beta incompleta e $I_{x}(\alpha ,\beta )$ é a função beta incompleta regularizada.

Propriedades

Medidas de tendência central

Moda para distribuição beta para $1\leq \alpha \leq 5$ e $1\leq \beta \leq 5$

Moda

A moda da variável aleatória $X$ de distribuição beta com $\alpha$, $\beta$ $>1$ é o valor mais provável da distribuição (correspondendo ao pico na f.d.p.), e é dado pela seguinte expressão:

$Mo(X)={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$

Quando os dois parâmetros são menores que 1 ($\alpha$, $\beta$ $<1$), isto é a anti-moda: o menor ponto da curva densidade de probabilidade.

Quando $\alpha =\beta$, a expressão para a moda é simplificada para ${\frac {1}{2}}$, mostrando que para $\alpha =\beta >1$ a moda está no centro da distribuição: que é simétrica nesse caso. Veja a seção "Formas" nesse artigo para uma lista completa de casos de moda, para valores arbitrários de $\alpha$ e $\beta$. Para vários desses casos, o valor máximo da função densidade ocorre em um dos dois extremos. Em alguns casos, o valor máximo da função densidade ocorrendo num extremo é finito. Por exemplo, no caso de $\alpha =2$, $\beta =1$ (ou $\alpha =1$, $\beta =2$), a função densidade se torna uma distribuição triangular que é finita nos dois extremos. Em diversos outros casos existe uma singularidade em um dos extremos, onde o valor da função densidade se aproxima do infinito. Por exemplo, no caso $\alpha$, $\beta ={\frac {1}{2}}$, a distribuição beta simplifica-se para se tornar a distribuição arcoseno. Existe um debate entre matemáticos sobre alguns desses casos e se os extremos ($x=0$ e $x=1$) pode ser chamados de modas ou não.

• Se os extremos são parte do domínio da função densidade
• Se uma singularidade pode alguma vez ser chamada de moda
• Se os casos com dois máximos deveriam ser chamados de bimodais

Mediana para a distribuição beta para $0\leq \alpha \leq 5$ e $0\leq \beta \leq 5$

(Média - Mediana) para distribuição beta vs. $\alpha$ e $\beta$ indo de 0 a 2

Mediana

A mediana da distribuição beta é o único número real $x=I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )$ para o qual a função beta incompleta regularizada $I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}$. Não existe uma forma fechada para a mediana da distribuição beta para valores arbitrários de $\alpha$ e $\beta$. Algumas formas fechadas para valores particulares dos parâmetros $\alpha$ e $\beta$ seguem:

• Para casos simétricos, onde $\alpha =\beta$, a mediana é igual a ${\frac {1}{2}}$
• Para $\alpha =1$ e $\beta >0$, a mediana é igual a $1-2^{-{\frac {1}{\beta }}}$
• Para $\alpha >0$ e $\beta =1$, a mediana é igual a $2^{-{\frac {1}{\alpha }}}$
• Para $\alpha =3$ e $\beta =2$, a mediana é igual a solução real da função de quarto grau $1-8x^{3}+6x^{4}=0$, que se encontra no intervalo $[0,1]$.

Os seguintes são os limites para a mediana da variável aleatória $X$ tem um parâmetro finito (não nulo) e o outro se aproximando desses limites:

${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{Md(X)}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{Md(X)}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{Md(X)}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{Md(X)}}=0.\end{aligned}}$

Uma aproximação razoável do valor da mediana da distribuição beta, para ambos $\alpha$ e $\beta$ maiores ou iguais a 1, é dado pela fórmula:

${\text{Md(X)}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.$

Quando $\alpha$, $\beta \leq 1$, o erro relativo (o erro absoluto dividido pela mediana) nessa aproximação é menor que 4% e para ambos $\alpha$,$\beta \geq 2$ é menor que 1%. O erro absoluto dividido pela diferença entre a média e a moda é similarmente pequeno:

$\left\vert {\frac {\text{Mediana - aproximação}}{\text{Mediana}}}\right\vert$ para distribuição beta para $1\leq \alpha \leq 5$ e $1\leq \beta \leq 5$

$\left\vert {\frac {\text{Mediana - aproximação}}{\text{Média - Moda}}}\right\vert$ para distribuição beta para $1\leq \alpha \leq 5$ e $1\leq \beta \leq 5$

Média para a distribuição beta para $1\leq \alpha \leq 5$ e $1\leq \beta \leq 5$

Média

O valor esperado (média) $\mu$ da variável aleatória $X$ sob a distribuição beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ é uma função apenas da razão ${\frac {\beta }{\alpha }}$ desses parâmetros:

${\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}$

Fazendo $\alpha =\beta$ na expressão acima, obtém-se $\mu ={\frac {1}{2}}$, mostrando que para $\alpha =\beta$, a média está no centro da distribuição, que é simétrica. Além dissoos seguintes limites podem ser obtidos da expressão acima:

${\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}$

Portanto, para ${\frac {\beta }{\alpha }}\rightarrow 0$ ou para ${\frac {\alpha }{\beta }}\rightarrow \infty$, a média está localizada no extremo direito, $x=1$. Para esses limites, a distribuição beta se torna uma distribuição degenerada de um ponto com um pico de função delta de Dirac no extremo direito $x=1$, com probabilidade 1; e probabilidade 0 em todo o resto do intervalo.

Analogamente, para ${\frac {\beta }{\alpha }}\rightarrow \infty$, ou para ${\frac {\alpha }{\beta }}\rightarrow 0$, a média é localizada no extremo esquerdo, $x=0$. A distribuição beta se torna uma distribuição degenerada de um ponto com um pico de função delta de Dirac no extremo esquerdo $x=0$ com probabilidade 1, e 0 em todo o resto do intervalo.

Enquanto para distribuições unimodais típicas (com modas centradas, pontos de inflexão nos dois lados da moda e caudas longas) é conhecido que a média amostral (como uma estimativa de local) não é tão robusta como a mediana amostral, o oposto é o caso para distribuições bimodais uniformes ou "em forma de U" com ${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$ tal que $\alpha$, $\beta \leq 1$, isto é, com as modas localizadas nos extremos da distribuição. Como Mosteller e Tukey frizam "a média das duas observações extremas usa toda a informação amostral. Isto ilustra como, para distribuições de cauda curta, as observações extremas devem receber maior peso". Por contraste, segue que a mediana de uma distribuição bimodal em forma de U com modas nas fronteiras da distribuição (com ${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$ tal que $\alpha$, $\beta \leq 1$ não é robusta, conforme a mediana amostral desconsidera as observações amostrais extremas. Uma aplicação prática disso ocorre por exemplo para passeios aleatórios, uma vez que a probabilidade para o tempo da última visita a origem em um passeio aleatório é distribuído como uma distribuição arco seno ${\text{Beta}}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$: a média de um número de realizações de um passeio aleatório é um estimador muito mais robusto que a mediana (que é uma medida estimativa amostral inapropriada neste caso).

Média geométrica

(Média- Média geométrica) para distribuição beta versus $\alpha$ e $\beta$ de 0 a 2, mostrando a assimetria entre $\alpha$ e $\beta$ para a média geométrica

Médias geométricas para distribuição beta. Roxo = $G(x)$, amarelo = $G(1-x)$, com os menores valores $\alpha$ e $\beta$ na frente

Médias geométricas para distribuição beta. Roxo = $G(x)$, amarelo = $G(1-x)$, com os maiores valores $\alpha$ e $\beta$ na frente

O logaritmo da média geométrica $G_{X}$ de uma distribuição da variável aleatória $X$ é a média aritmética de $ln(X)$ ou, equivalentemente, seu valor esperado:

$\ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]$

Para a distribuição beta, o valor esperado da integral é:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$

onde $\psi$ é a função digama.

Assim sendo, a média geométrica de uma distribuição beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ é a exponencial da função digama de $\alpha$ e $\beta$ como segue:

$G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}$

Enquanto para a distribuição beta com parâmetros $\alpha =\beta$, segue que a curtose = 0 e a moda = média = mediana = ${\frac {1}{2}}$, a média geométrica é menor que ${\frac {1}{2}}$ (isto é: $G_{X}<{\frac {1}{2}}$). A razão para isso é que a transformação logarítmica faz os valores de $|$ próximos de zero pesarem muito, enquanto $ln(X)$ tende rapidamente para menos infinito conforme X se aproxima de zero, enquanto $ln(X)$ aplaina perto de zero quando $X\rightarrow 1$.

Ao longo de uma linha $\alpha =\beta$, os seguintes limites se aplicam:

${\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$

Seguindo há os limites com um parâmetro finito (não-nulo) e o outro se aproximando desses limites:

${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}$

O gráfico que acompanha mostra a diferença entre a média aritmética e a média geométrica para os parâmetros de forma $\alpha$ e $\beta$ de 0 a 2. Apesar do fato de que a diferença entre elas aproxima-se de zero conforme $\alpha$ e $\beta$ aproximam-se do infinito e que a diferença se torna larga para valores de $\alpha$ e $\beta$ aproximando-se de zero, pode-se observar uma assimetria evidente da média geométrica com respeito aos parâmetros $\alpha$ e $\beta$. A diferença entre a média geométrica e a média aritmética é maior para valores pequenos de $\alpha$ em relação a $\beta$ do que quando trocando as magnitudes de $\alpha$ e $\beta$.

Medidas de dispersão estatísticas

Variança

A variança é o valor de uma distribuição beta com uma distribuição aleatória de variável X com os parâmetros α e β é

$var(X)=E[x-\mu ^{2}]={\alpha \beta \over (\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}$

Tendo que α=β e através da expressão anterior tem-se que:

$var(X)={1 \over 4(2\beta +1)}$

Quanto mais próximo de zero for α = β a variança tende a diminuir. Quando α = β = 0 tem se que o ponto máximo da variança, var(x)=1/4. A distribuição beta é parametrizada através de sua média μ (0 <μ <1) e tamanho de amostra: ν = α + β (ν> 0), usando estás variáveis tem-se que a variança é dada por:

$var(X)={\mu (1-\mu ) \over 1+\nu }$

Como ν = (α + β) > 0 e var(X) < μ(1 − μ). Então uma distribuição simétrica (média) é quando μ=1/2, tendo então:

$var(X)={1 \over 4(1+\nu )}if\mu ={1 \over 2}$