Energia potencial gravitacional

A energia potencial gravitacional ou energia gravitacional é a energia potencial que um objeto massivo tem em relação a outro objeto massivo devido à gravidade. É a energia potencial associada ao campo gravitacional, que é parcialmente convertida em energia cinética quando os objetos caem uns contra os outros. A energia potencial gravitacional aumenta quando dois objetos são separados.

Para duas partículas pontuais que interagem em pares, a energia gravitacional é determinada pelas massas das partículas, sua separação e a constante gravitacional ( $G$ ).^[1] Perto da superfície da Terra, o campo gravitacional é aproximadamente constante, e a energia potencial gravitacional $U$ de um objeto pode ser expressa por

U=mgh

.

Nessa expressão $m$ é a massa do objeto, $g$ é a gravidade da Terra e $h$ é a altura do centro de massa do objeto acima de um nível de referência escolhido.^[1]

Expressão genérica editar

Corpos pontuais editar

Sabe-se que o campo das forças gravitacionais entre dois corpos pontuais 1 e 2, cuja posição relativa e o vetor ${\vec {r}}$ é:

{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}{\left\|{\vec {r}}\right\|^{3}}}{\vec {r}}

onde G representa a constante de gravitação universal, m₁ e m₂ representam as massas em interação, ${\vec {r}}$ representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e $r=\|{\vec {r}}\|={\sqrt {{\vec {r}}.{\vec {r}}}}$ representa o módulo (tamanho) do vetor ${\vec {r}}$ , ou seja, a distância entre as massas.

Sendo o campo gravitacional um campo conservativo, é possível definir o seu potencial como uma função $U\left({\vec {r}}\right)$ tal que:

\nabla U\left({\vec {r}}\right)=-{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)=\left(-{\frac {\partial U\left({\vec {r}}\right)}{\partial x}},-{\frac {\partial U\left({\vec {r}}\right)}{\partial y}},-{\frac {\partial U\left({\vec {r}}\right)}{\partial z}}\right)

Logo, a função potencial é:

U\left({\vec {r}}\right)=-{\frac {G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}{\left\|{\vec {r}}\right\|}}

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

U\left(r\right)=-{\frac {G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}{r}}

Considerando que se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

\Delta U=-\int {\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)d{\vec {r}}

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.

Corpos extensos editar

Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se ao cálculo de um integral de volume sobre os dois corpos a fim de se determinar a soma das interações gravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais se dividem os corpos. Tal cálculo é dependente da geometria dos corpos, podendo ser complexo em certos casos. Contudo Newton mostrou, com o uso do cálculo diferencial e integral, que pontos externos a uma esfera com distribuição simétrica de massa se encontram sujeitos a potenciais gravitacionais por ela determinados completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula pontual localizada no centro da esfera, desde que a essa partícula se associe uma massa igual à massa de toda a esfera original. Newton demonstrou também que a expressão geral acima é válida para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetria esférica (formado por cascas homogêneas). Esta expressão pode assim, por exemplo, ser utilizada para aproximar com alta precisão a energia potencial armazenada no sistema Terra - Lua, sendo que a distância a considerar-se é, neste caso, a distância entre os centros dos astros em questão.

Mecânica newtoniana editar

Na mecânica clássica, duas ou mais massas sempre têm potencial gravitacional. A conservação da energia requer que a energia desse campo gravitacional seja sempre negativa, de modo que seja zero quando os objetos estão infinitamente distantes.^[2] A energia potencial gravitacional é a energia potencial que um objeto possui porque está dentro de um campo gravitacional.

A força entre uma massa pontual, $M$ , e outra massa pontual, $m$ , é dada pela lei da gravitação de Newton: $F=G{\frac {mM}{r^{2}}}$

Para obter o trabalho total realizado por uma força externa para trazer a massa pontual $m$ do infinito para a distância final $R$ (por exemplo, o raio da Terra) dos dois pontos de massa, a força é integrada em relação ao deslocamento :

W=\int _{\infty }^{R}G{\frac {mM}{r^{2}}}dr=

-G\left.{mM \over r}\right\vert _{\infty }^{R}

Como $\lim _{r\rightarrow \infty }{\frac {1}{r}}=0$ , o trabalho total realizado no objeto pode ser escrito como:^[3]

$U=-G{\frac {mM}{R}}$

Relatividade geral editar

Na relatividade geral, a energia gravitacional é extremamente complexa e não há uma definição única do conceito. Às vezes, é modelado por meio do pseudotensor Landau-Lifshitz^[4], que permite a retenção das leis de conservação de energia-momento da mecânica clássica.

A adição do tensor tensão-energia-momento da matéria ao pseudotensor Landau-Lifshitz resulta em uma matéria combinada mais pseudotensor de energia gravitacional que tem uma 4-divergência de desaparecimento em todos os quadros - garantindo a lei de conservação. Algumas pessoas objetam a esta derivação alegando que os pseudotensores são inadequados na relatividade geral, mas a divergência do pseudotensor de matéria combinada mais energia gravitacional é um tensor.

Aproximação para campo gravitacional uniforme editar

Considerando o campo gravitacional próximo da superfície da Terra como uniforme (assumindo as linhas de campo paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

{\vec {F}}\left(x,y,z\right)=\left(0,0,-mg\right)

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

U\left(x,y,z\right)=mgz

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massa vezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

U\left(h\right)=Ph=mgh

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo. Sendo a energia potencial gravitacional uma grandeza escalar cujo valor depende do nível de referência escolhido, é possível que a energia potencial gravitacional seja negativa, marca atingida se o objeto encontrar-se abaixo do nível adotado como referência, a exemplo.

A expressão para campos uniformes anterior pode também ser deduzida da expressão geral fazendo-se uma expansão em série da mesma e retendo-se apenas o termo em primeira ordem na altura.

Ver também editar

Referências

↑ ^a ^b «Gravitational Potential Energy». hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Consultado em 22 Novembro 2020
↑ For a demonstration of the negativity of gravitational energy, see Alan Guth, The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6, Appendix A—Gravitational Energy.
↑ Tsokos, K. A. (2010). Physics for the IB Diploma Full Colour revised ed. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 143. ISBN 978-0-521-13821-5 Extract of page 143
↑ Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7

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[gpe2-1] «Gravitational Potential Energy». hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Consultado em 22 Novembro 2020

[2] For a demonstration of the negativity of gravitational energy, see Alan Guth, The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6, Appendix A—Gravitational Energy.

[3] Tsokos, K. A. (2010). Physics for the IB Diploma Full Colour revised ed. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 143. ISBN 978-0-521-13821-5 Extract of page 143

[4] Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7

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