Equação paramétrica

Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: $r^{2}=x^{2}+y^{2},$ um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:^[2]

$x=r\cos t$

$y=r\operatorname {sen} t,$ ^[3]

Um exemplo da utilidade das equações paramétricas está na cinemática, onde esse tipo de equação serve para descrever a trajetória que um objeto pode assumir ao longo do tempo, este último serve como parâmetro da equação.^[4]

A noção de equação paramétrica tem sido generalizada para superfícies e variedades de mais dimensões, com o número de parâmetros igual ao número de dimensões e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que o distribuidor ou variedade é considerado. Nas curvas por exemplo um parâmetro é usado, sendo a dimensão igual a um, enquanto em superfícies a dimensão é dois e dois parâmetros são utilizados.

Aplicações editar

As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como^[5]:

$r(t)=(x(t),y(t),z(t)),$

a qual pode ser escrita também como:

$r(t)=x(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z(t){\overset {\rightarrow }{k}}.$

A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula:

$r'(t)=(x'(t)+y'(t)+z'(t))$

escrevendo na forma vetorial, obtemos:

$r'(t)=x'(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y'(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z'(t){\overset {\rightarrow }{k}}$

Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:

$r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))$

na forma vetorial, temos:

$r''(t)=x''(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y''{\overset {\rightarrow }{j}}+z''{\overset {\rightarrow }{k}}$

Além disso, as equações paramétricas são utilizadas na área da computação (CAD - Computer-aided design) e também são usadas para resolver problemas de geometria, uma clássica utilização é a parametrização euclidiana para triângulos retângulos.^[6]

Exemplos em duas dimensões editar

Parábola

Parábola editar

A equação de uma parábola não parametrizada é

$f(x)=x^{2}$

a qual pode ser parametrizada utilizando x=t, para um intervalo $-\infty <t<\infty .$ como:

$x=t$ e $y=t^{2}$

Círculo

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A equação do círculo de raio igual a 1 comumente utilizada é:

$x^{2}+y^{2}=1$
para este mesmo círculo podemos escrever a seguinte equação parametrizada, para o intervalo de $0\leq t\leq 2\pi :$

$(x,y)=(cos(t),sen(t))$

ou se preferirmos podemos escrever na forma:

$x=cos(t)$ e $y=sen(t)$

Hipérbole editar

Hipérbole de abertura leste-oeste:

Hipérbole

A equação dessa hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas é^[7]:

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura leste-oeste pode ser escrita como:

${\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\end{aligned}}\quad$

Hipérbole de abertura norte-sul:

A equação dessa hipérbole no sistema cartesiano é:^[7]

${\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura norte-sul pode ser escrita como:

${\begin{matrix}x=b\tan t+h\\y=a\sec t+k\\\end{matrix}}\quad$

sendo (h,k) o centro da hipérbole, 'a' o semi-eixo real, isto é, metade da distância entre os ramos, e 'b' o semi-eixo imaginário.

Elipse editar

Elipse

A curva no plano cartesiano de uma elipse é^[8]:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

com todos os coeficientes reais, sendo que quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação pode ser simplificada para:

${\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,}$

sendo (h,k) o centro da elipse e 'a' e 'b' os semi-eixos da elipse.

A equação paramétrica canônica de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 'a' e 'b' é dada pela seguinte fórmula:

$x=acos(t)$ e $y=bsen(t)$

Enquanto, a equação paramétrica geral dessa mesma curva pode ser dada, por:

$x=Xc+acos(t)cos(\varphi )-bsen(t)sen(\varphi )$

$y=Yc+acos(t)sen(\varphi )+bsen(t)cos(\varphi )$

t varia de $0\leq t\leq 2\pi ,$ Xc e Yc representam o centro da elipse e ${\displaystyle \varphi }$ é o ângulo entre eixo x e o maior eixo da elipse.

Exemplo em três dimensões editar

Hélice editar

Hélice

A hélice é uma curva tridimensional que combina a rotação em torno de um ponto com o movimento de translação desse mesmo ponto, a parametrização dessa forma tridimensional é dada pela seguinte fórmula em coordenadas cartesianas^[9]:

${\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\mathrm {sen} \,(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}$