Equações de Jefimenko

As equações de Jefimenko descrevem o comportamento de campos elétricos e campo magnético em função da posição das fontes do campo em instantes retardados. Junto equação de continuidade, as equações de Jefimenko são equivalentes às equações de Maxwell.

Campo eletromagnético no vácuo

O campo elétrico $\mathbf {E}$ e o campo magnético $\mathbf {B}$ oriundos do término da densidade de carga $\rho \,$ e adensidade de corrente $\mathbf {J}$ como:

${\begin{cases}\mathbf {E} ({\vec {r}},t)={\cfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\left({\frac {\rho (\mathbf {r'} ,t_{r})\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\cfrac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}{\cfrac {\partial \rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}-{\cfrac {1}{Rc^{2}}}{\cfrac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }\\\mathbf {B} ({\vec {r}},t)={\cfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left({\cfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})\times \mathbf {R} }{R^{3}}}+{\cfrac {1}{R^{2}c}}{\cfrac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\times \mathbf {R} \right)d^{3}\mathbf {r'} }\end{cases}}$|1| Onde $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r'}$, e $t_{r}=t-R/c\,$.

O uso do tempo retardado significa que o campo no instante t a uma distância R das cargas depende de como estavam as cargas situadas no instante anterior, devido a velocidade de propagação finita do campo ao campo criado pelas cargas de agora e se manifesta somente em tempos espaçados e grandes distâncias, porque não existe conexão entre a posição das cargas de "agora" em grandes distâncias das cargas.