Espaços normados

Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$.

Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica.

O conceito foi proposto por Stefan Banach, Hans Hahn e Norbert Wiener, de maneira independente, em 1922.

Definição

Seja $X$ um espaço vetorial real ou complexo. Uma função $\lVert \cdot \rVert :X\to \mathbb {R}$ é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir.

1. $\lVert x\rVert \geq 0$ para todo $x\in X$ e $\lVert x\rVert =0\Leftrightarrow x=0$ (Positividade e não degenerescência);
2. $\lVert \alpha x\rVert =|\alpha |\lVert x\rVert$ para todos $\alpha$ escalares e $x\in X$ (Homogeneidade);
3. $\lVert x+y\rVert \leq \lVert x\rVert +\lVert y\rVert$ para todos $x,\,y\in X$ (Desigualdade triangular).

Nesse caso, $X$ é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que

$d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X$

define uma métrica em $X\,$, fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.

As operações de soma $+$ e produto por escalar $\cdot$ são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.

Exemplos de Espaços Normados

1) O espaço vetorial $\mathbb {R} ^{n}$ munido da norma euclidiana

$\lVert x\rVert :=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{2}\right)^{1/2}$,

onde $x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

2) O espaço vetorial $\mathbb {R} ^{n}$ munido da norma-$p$

$\lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}$,

onde $x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ e $p\in [1,\infty ).$

3) O espaço vetorial $\ell _{p}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}$ das sequências $p-$somáveis, munido da norma

$\lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$.

Métricas induzidas

Se um espaço vetorial $X$ é normado, a função $d:X\times X\to \mathbb {R}$ definida por

$d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X$

é uma métrica em $X$, chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se $X$ é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz

$d(x+z,y+z)=d(x,y)$ e

$d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$

para todos $x,y,z\in X$ e $\alpha$ escalar, então existe uma norma $\lVert \cdot \rVert$ em $X$ que induz a métrica $d$. A dizer,

$\lVert x\rVert =d(x,0),\quad \forall x\in X$.

Operadores lineares limitados

Sejam $X,\,Y$ espaços normados e $T:X\to Y$ um operador linear. Dizemos que $T$ é limitado se existe $c>0$

$\lVert Tx\rVert \leq c\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X\,$.

Nesse caso, definimos a norma de operador de $T$ por

$\lVert T\rVert :=\sup _{x\neq 0}{\frac {\lVert Tx\rVert }{\lVert x\rVert }}=\sup _{\lVert x\rVert =1}{\lVert Tx\rVert }$.

O conjunto dos operadores limitados $X\to Y$, geralmente denotado ${\mathcal {B}}(X,Y)$, é um subespaço do conjunto dos operadores lineares ${\mathcal {L}}(X,Y)$ e a norma de operador é de fato uma norma em ${\mathcal {B}}(X,Y)$. Caso $Y$ seja um espaço de Banach, ${\mathcal {B}}(X,Y)$ também é um espaço de Banach. Em particular, o dual topológico $X^{*}:={\mathcal {B}}(X,\mathbb {K} )$ de qualquer espaço normado $X\,$é completo.

As seguintes afirmações a respeito do operador linear $T:X\to Y$ são equivalentes:

• $T$ é limitado;
• $T$ é contínuo;
• $T$ é contínuo em um ponto $x_{0}\in X$;
• $T$ é uniformemente contínuo;
• $T$ é Lipschitziano;
• $\lVert T\rVert <\infty$;
• $T$ leva conjuntos limitados (em $X$) em conjuntos limitados (em $Y$).

Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.

Se um operador linear $T:X\to Y$ é bijetor e tal que

$\lVert Tx\rVert =\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X$,

$T$ é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso, $X$ e $Y$ são isomorfos.

Exemplos

1) Dado $X$ espaço normado, a identidade $id_{x}:X\to X$ é um operador linear limitado.

2) Dado o espaço $\ell _{p}$, considere as funções $S_{r}:\ell _{p}\to \ell _{p}$ e $S_{l}:\ell _{p}\to \ell _{p}$ dadas por

$S_{r}(x):=(0,x_{1},x_{2},...,x_{n},...)$ e $S_{l}(x):=(x_{2},x_{3},...,x_{n},...)$,

onde $x:=(x_{1},x_{2},...,x_{n},...)\in \ell _{p}.$ Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.

3) O operador diferencial ${\frac {d}{dx}}:C^{1}[a,b]\to C^{0}[a,b]$, dado por

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(f):[a,b]&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto {\frac {df}{dx}}(x)\end{aligned}}$

constitui um exemplo de um operador linear que não é limitado.

Normas equivalentes

Sejam $X$ um espaço vetorial e $\lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}$ duas normas nele. Caso $\lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}$ induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes.

Duas normas $\lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}$ são equivalentes se, e somente se, existem $A,B>0$ tais que

$A\lVert x\rVert _{1}\leq \lVert x\rVert _{2}\leq B\lVert x\rVert _{1},\quad \forall x\in X$.

Além disso, as sequências de Cauchy em $(X,\lVert \cdot \rVert _{1})$ e $(X,\lVert \cdot \rVert _{2})$ são as mesmas. Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade

${\begin{aligned}\mathrm {id} :(X,\lVert \cdot \rVert _{1})&\to (X,\lVert \cdot \rVert _{2})\\x&\mapsto x\end{aligned}}$

é um isomorfismo entre espaços normados.

Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.

Exemplos de Normas Equivalentes

1) Dados $p,q\in [1,\infty ]$, tem-se que as normas $\lVert x\rVert _{p}$ e $\lVert x\rVert _{q}$, quando definidas em $\mathbb {R} ^{n}$, são equivalentes. Aqui,

$\lVert x\rVert _{\infty }:={\underset {1\leq k\leq n}{\sup }}|x_{k}|$, onde $x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em $\mathbb {R} ^{n}$, por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.

Norma canônica de um espaço vetorial

Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a $\mathbb {R} ^{n}$ ou $\mathbb {C} ^{n}$), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.

Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\,\mathbb {C}$ possui uma base (de Hamel) $\{e_{i}\}_{i\in I}$. Por definição, isso significa que todo vetor $v\in V$ pode ser decomposto unicamente por

$v=\sum _{j\in J}\alpha _{j}e_{j}$,

onde $J\subseteq I$ é finito e $\alpha _{j}\in \mathbb {K} ,\,\forall j\in J$. Define-se então

${\begin{aligned}\lVert \cdot \rVert :V&\to \mathbb {R} \\v&\mapsto \lVert v\rVert :=\max _{j\in J}|\alpha _{j}|\,.\end{aligned}}$

Tal função é de fato uma norma em $V$, chamada de norma canônica.