Espaço paracompacto

Em matemática, em especial na análise funcional e topologia, um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta admite um refinamento localmente finito.

Conceitos preliminares

Definição 1: Um refinamento de uma cobertura de um espaço X é uma nova cobertura do mesmo espaço tal que cada conjunto da nova cobertura é um subconjunto de algum elemento da antiga cobertura. Simbolicamente, a cobertura $V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}$ é um refinamento da cobertura $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ se, e somente se, para qualquer $V_{\beta }\in V$, existe algum $U_{\alpha }\in U$ tal que $V_{\beta }$ está contido em $U_{\alpha }$.

Definição 2: Uma cobertura aberta de um espaço topológico $(X,\tau )$ é localmente finita se todo ponto do espaço admite uma vizinhança aberta que intersecta apenas um número finito de elementos da cobertura. Simbolicamente, $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ é localmente finito se, e somente se, $\forall x\in X$, existe uma vizinhança $V(x)$ de $x$ tal que o conjunto:

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V(x)\neq \varnothing \right\}$ é finito.

O conceito de paracompacidade é uma das mais úteis generalizações de compacidade descobertas nos últimos anos. É particularmente útil para aplicações em topologia e geometria diferencial.

Muitos espaços que nos são familiares já são paracompactos. Por exemplo, todo espaço compacto é paracompacto; isto é consequência imediata da definição. Também é verdadeiro que espaços metrizáveis são paracompactos; este teorema se deve a Arthur Harold Stone. Logo, a classe dos espaços paracompactos inclui importantes classes de espaços topológicos.

Para poder observar como a paracompacidade generaliza o conceito de compacidade, recordamos a definição de compacidade:

"Um espaço $X$ é dito compacto se toda cobertura aberta de X, $A$ admite uma subcobertura finita"

Um modo equivalente de dizer isto é:

"Um espaço $X$ é compacto se toda cobertura aberta $A$ tem um refinamento finito $B$ que cobre $X$"

Esta definição é equivalente à usual: dado um refinamento $B$, pode-se escolher, para cada elemento de $B$ um elemento de $A$ que o contém; deste modo obtemos uma subcoleção finita de $A$ que cobre $X$.

Esta nova formulação de compacidade é, talvez, embaraçosa, mas nos sugere um modo de generalizar:

Definição: Um espaço topológico $(X,\tau )$ é paracompacto se toda cobertura aberta $A$ de $X$ admite um refinamento localmente finito $B$ que cobre $X$.

Exemplo: O espaço $\mathbb {R} ^{n}$ com a topologia induzida pela métrica,$\tau '$ é paracompacto. Seja $(X,\tau )=(\mathbb {R} ^{n},\tau ')$. Seja $A$ uma cobertura aberta de $X$. Seja, ainda, $B_{0}=\emptyset$, e para cada inteiro positivo $m$, seja $B_{m}$ a bola aberta de raio $m$ centrada na origem. Dado $m$, escolha um número finito de elementos de $A$ que cubra ${\overline {B_{m}}}$ e intersecte cada uma com o conjunto aberto $X-{\overline {B_{m-1}}}$; denote esta coleção finita de conjuntos abertos por $C_{m}$. Então a coleção $C=\bigcup C_{m}$ é um refinamento de $A$. É claro que este refinamento é localmente finito, pois o aberto $B_{m}$ intersecta apenas um número finito de elementos de $C$ , a saber aqueles que pertencem à coleção $C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$. Finalmente, $C$ cobre $X$, pois dado $x\in X$, seja $m$ o menor inteiro tal que $x\in {\overline {B_{m}}}$.

Comparação com compacidade

A paracompacidade é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos:

• Todo subconjunto fechado de um conjunto paracompacto é paracompacto;
• Todo conjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff é normal.

A paracompacidade é diferente da compacidade nos seguintes aspectos:

• Um subconjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff não precisa, necessariamente, ser fechado. de fato, para o caso de espaços métricos, qualquer subconjunto é paracompacto.
• O produto cartesiano de espaços paracompactos não é, necessariamente, paracompacto. $\mathbb {R} ^{2}$ com a topologia do limite inferior, o plano de Sogenfrey, é um exemplo clássico disto.