Espaços linha e coluna

Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação $R(A)$ para nos referirmos ao posto da matriz $A$.

Definição

Seja $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$ uma matriz real $m\times n$.

Espaço linha

O espaço linha de $A$ é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores $\{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{m}\}$, onde:

$\mathbf {a} _{i}={\begin{bmatrix}a_{i,1}&a_{i,2}&\ldots &a_{i,n}\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,m$.

A dimensão do espaço linha de $A$ é chamada de posto linha da matriz.

Espaço coluna

O espaço coluna de $A$ é o espaço vetorial $R(A)$ gerado pelo conjunto de vetores $\{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\}$, onde:

$\mathbf {a} _{j}={\begin{bmatrix}a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots \\a_{m,j}\end{bmatrix}},\quad j=1,\ldots ,n$.

A dimensão do espaço coluna de $A$ é chamada de posto coluna da matriz.

Propriedades do espaço linha

O espaço linha de uma matriz possui as seguintes propriedades:

1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.
2. Se $A$ e $B$ são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Demonstração

1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.

Seja $A$ uma matriz real $m\times n$. Então, os vetores linhas de $A$ formam um subconjunto do espaço euclidiano $n$-dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo $n$.

2. Se $A$ e $B$ são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Com efeito, se $A$ e $B$ são matrizes equivalentes por linha, então as linhas de $A$ são combinações lineares das linhas de $B$ e vice-versa. Portanto, o espaço vetorial gerado pelas linhas de $A$ é igual ao espaço vetorial gerado pelas linhas de $B$, como queríamos demonstrar.

Propriedades do espaço coluna

O espaço coluna de uma matriz possui as seguintes propriedades:

1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.
2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.
3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Demonstração

1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.

Seja $A$ uma matriz real $m\times n$. Então, os vetores coluna de $A$ formam um subconjunto do espaço euclidiano $m$-dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo $m$.

2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.

Seja $T:V\to W$ uma transformação linear do espaço euclidiano $V$ de dimensão $m$ no espaço euclidiano $W$ de dimenão $n$. Seja, também, $A$ uma matriz que representa $T$, i.e.:

$T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$.

Daí, vemos que $\mathbf {y}$ pertence à imagem de $T$ se, e somente se, existe $\mathbf {x} \in V$ tal que $\mathbf {y} =A\mathbf {x}$. Ou seja, $\mathbf {y}$ é uma combinação linear dos vetores coluna de $A$, como queríamos demonstrar.

3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Segue, imediatamente, da propriedade 2.

Relação entre os espaços linha e coluna

Os espaços linha e coluna de uma matriz possuem as seguintes relações:

1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.
2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Observamos que a propriedade 2. justifica denotar o posto coluna e o posto linha de uma matriz $A$ por $R(A)$ ou ${\text{posto}}(A)$, sem referência a linha ou coluna.

Demonstração

1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.

Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado.

2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Por definição, o posto linha de uma matriz é a dimensão do seu espaço linha. Sejam $A$ uma matriz e $U$ a matriz escalonada reduzida por linha de $A$. Então, o número de vetores coluna de $A$ que são linearmente independentes é igual ao número de uns principais da matriz $U$. Mas, este é também o número de vetores linha de $U$ que são linearmente independentes. Como $A$ e $U$ são matriz equivalentes por linha, temos que elas têm o mesmo posto linha. Concluímos, então, que o ponto coluna de $A$ é igual ao seu posto linha.

Sejam $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ os vetores coluna de uma matriz $A$ $n\times m$.

Relação fundamental

Se $A$ é uma matriz $m\times n$, então $R(A)+N(A)=n$. Aqui, $R(A)$ denota o posto de $A$, enquanto $N(A)$ denota sua nulidade.

Demonstração

A nulidade de $A$ é a dimensão do espaço nulo de $A$, i.e., a dimensão do espaço gerado pelas soluções de $A\mathbf {x} =0$. Seja $U$ a matriz escalonada reduzida de $A$. O posto de $A$ é igual ao número de linhas não nulas de $U$, enquanto que a nulidade $A$ é igual a $n$ menos o número de linhas não nulas de $U$. Ou seja, $R(A)+N(A)=n$.

Posto e singularidade

Os seguintes resultados relacionam o conceito de singularidade com o posto de uma matriz quadrada:

1. Uma matriz quadrada $A$ $n\times n$ é não singular se, e somente se, $R(A)=n$.
2. O determinante de uma matriz $A$ $n\times n$ é não nulo se, e somente se, $R(A)=n$.
3. Um sistema linear quadrado $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ de ordem $n$ tem uma única solução se, e somente se, $R(A)=n$.
4. Um conjunto de vetores coluna $\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}$ de um espaço euclidiano $n$-dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada ${\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\mathbf {u} _{2}&\ldots &\mathbf {u} _{n}\end{bmatrix}}$ tem determinante não nulo.

Demonstração

1. Uma matriz quadrada $A$ $n\times n$ é não singular se, e somente se, $R(A)=n$.

Com efeito, $A$ é não singular se, e somente se, a nulidade de $A$ for igual a zero. O resultado segue, então da relação fundamental demonstrada acima.

2. O determinante de uma matriz $A$ $n\times n$ é não nulo se, e somente se, $R(A)=n$.

Isto segue do resultados 1. demonstrado acima, uma vez que o determinante de uma matriz $A$ $n\times n$ é não nulo se, e somente se, $A$ é não singular.

3. Um sistema linear quadrado $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ de ordem $n$ tem uma única solução se, e somente se, $R(A)=n$.

Com efeito, um sistema linear quadrado $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ de ordem $n$ tem uma única solução se, e somente se, $A$ é não singular. Portanto, este resultado segue do demonstrado no item 1. desta seção.

4. Um conjunto de vetores coluna $\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}$ de um espaço euclidiano $n$-dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada ${\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\mathbf {u} _{2}&\ldots &\mathbf {u} _{n}\end{bmatrix}}$ tem determinante não nulo.

Com efeito, uma matriz $A$ é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes.