Axiomas de Peano: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Ajustes |
Ajustes na sintaxe da tradução de en:Peano axioms feita por Paslucena (ver Especial:Diff/30984127) |
||
Linha 6:
== Os axiomas ==
Quando Peano formulou seus axiomas, a linguagem de [[lógica matemática]] ainda era nova. O sistema de notação lógica por ele criado para a apresentação de seus axiomas não se mostrou popular, apesar de ser a gênese da notação moderna de pertencimento (∈, derivado do ε utilizado por Peano) e [[implicação]] (⊃, derivado do 'C' invertido de Peano). Peano manteve uma distinção clara entre a simbologia lógica e a matemática, o que não era ainda comum na matemática; tal separação foi introduzida pela
Os axiomas de Peano definem as propriedades aritméticas de números naturais, geralmente representadas como o [[conjunto]] N ou
A constante 0 é considerada um número natural:
Os 4 próximos axiomas descrevem a [[relação de equivalência]].
<ol start="2">
</ol>
▲4. Para todos os números naturais x, y, e z, se x = y e y = z, então x = z. Ou seja, equivalência é [[Relação transitiva|transitiva]].
▲5. Para todos a e b, se a for um número natural e a = b, então b também é um número natural. Isto é, os números naturais são [[Conjunto fechado|fechados]] em sua equivalência.
Os axiomas restantes definem as propriedades aritméticas dos números naturais. Os naturais são fechados sob a função unária de sucessor S.
<ol start="6">
</ol>
As formulações originais dos axiomas de Peano utilizavam o 1 como "primeiro" número natural, ao invés do 0. A escolha é arbitrária, uma vez que o primeiro axioma não concede à constante 0 nenhuma propriedade adicional. No entanto, como 0 é o [[elemento neutro]], a maioria das interpretações modernas dos axiomas de Peano se inicia no 0. O s axiomas 1 e 6 definem uma representação [http://en.wikipedia.org/wiki/Unary_numeral_system unária] dos números naturais: o número 1 pode ser definido como S(0), 2 como S(S(0)) (que também é S(1)) e, no geral, qualquer número natural n como Sn(0). Os dois próximos axiomas definem as propriedades dessa representação.
<ol start="7">
</ol>
▲8. Para todos os números naturais m e n, se S(m) = S(n), então m = n. Ou seja, S é uma [[função injetora]].
Os axiomas 1, 6 e 7 implicam que o conjunto de números naturais contém os elementos distintos 0, S(0), S(S(0)), e assim por diante; em outras palavras, é informalmente conhecido o fato de que {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N, de modo que qualquer elemento buscado está contido em N. (Também se sabe que o conjunto dos naturais é infinito, porquê contém um subconjunto infinito.) Para mostrar que N = {0, S(0), S(S(0)), …}, deve ser mostrado que N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), ...}; ou seja, é necessário ser mostrado que todo número natural está incluso em {0, S(0), S(S(0)), ...}, de modo que o conjunto de números naturais não possua nenhum elemento "indesejado" (por exemplo o decimal 1.7). Para que isso seja feito, no entanto, é necessário mais um axioma, também chamado de axioma da indução. Este axioma gera um método para a racionalização do conjunto de todos os números naturais.
<ol start="9">
<ul>
<li>para todo natural n, se n está contido em K, então S(n) está em K,</li> </ol>
O axioma da indução é, às vezes, proposto da seguinte maneira:
<ol start="9">
<ul>
<li>para todo número natural n, se φ(n) é verdadeiro, então φ(S(n)) também o é,</li> </ol>
Na concepção original de Peano, o axioma da indução é um [[Lógica de segunda ordem|axioma de segunda-ordem]]. Atualmente, é comum substituir esse princípio de segunda-ordem por um esquema de indução de [[lógica de primeira ordem|primeira-ordem]] mais fraco. Há importantes diferenças entre formulações de primeira-ordem e segunda-ordem, como discutido nos modelos abaixo. Sem o axioma da indução, os axiomas restantes de Peano geram uma teoria de uma função unária injetora mas não sobrejetora, que pode ser expressa sem lógica de segunda-ordem.
| |||