Função de base radial

Uma função de base radial (RBF) é uma função sobre números reais cujos valores dependem apenas da distância a partir da origem, tal que $\phi (\mathbf {x} )=\phi (\|\mathbf {x} \|);$ ou, alternativamente, sobre algum outro ponto c, chamado de centro, tal que $\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {c} )=\phi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|).$ Qualquer função $\phi$ que satisfaça a propriedade $\phi (\mathbf {x} )=\phi (\|\mathbf {x} \|)$ é uma função radial. A norma é usualmente a distância euclidiana, embora outras funções de distância também sejam possíveis. Por exemplo, ao usar a métrica de Lukaszyk-Karmowski, é possível para algumas funções radiais evitar problemas com números mal condicionados de uma matriz solucionada para determinar os coeficientes w_i (veja abaixo), desde que $\|\mathbf {x} \|$ seja sempre maior que zero.

Somas de funções de base radial são tipicamente usadas para aproximar funções. Este processo de aproximação também pode ser interpretado como um caso simples de rede neural. RBFs também são usadas como um núcleo em classificação usando máquina de vetores de suporte.

Tipos de RBF

Tipos de funções de base radial usados comumente incluem (dado que $r=\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|$):

• Gaussiana: O primeiro termo, que é usado para a normalização da gaussiana, está faltando, porque em nossa soma, cada gaussiana tem um peso, então a normalização não é necessária.

  $\phi (r)=e^{-(\varepsilon r)^{2}}$

• Multiquadrática:

  $\phi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}$

• Quadrática inversa:

  $\phi (r)={\frac {1}{1+(\varepsilon r)^{2}}}$

• Multiquadrática inversa:

  $\phi (r)={\frac {1}{\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

• Spline poli-harmônica:

  $\phi (r)=r^{k},\;k=1,3,5,\dots$

  $\phi (r)=r^{k}\ln(r),\;k=2,4,6,\dots$

• Spline "chapa" fina (uma spline poli-harmônica especial):

  $\phi (r)=r^{2}\ln(r)$

Referências

• Buhmann, Martin D. (2003), Radial Basis Functions: Theory and Implementations, ISBN 978-0-521-63338-3, Cambridge University Press .
• Hardy, R.L., Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces. Journal of Geophysical Research, 76(8):1905–1915, 1971.
• Hardy, R.L., 1990, Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988, Comp. math Applic. Vol 19, no. 8/9, pp. 163 208
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press 
• Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences,Iowa State University, Ames, Iowa.
• Sirayanone S. and Hardy, R.L., The Multiquadric-biharmonic Method as Used for Mineral Resources, Meteorological, and Other Applications, Journal of Applied Sciences and Computations Vol. 1, pp. 437-475, 1995.