Grupoide (matemática)

 Nota: Não confundir com grupoide (estrutura algébrica).

Em matemática, grupoide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não-vazio com uma operação binária parcial, geralmente denotada pela concatenação, onde todo elemento possui um inverso. Um grupoide é uma generalização da estrutura de grupo, e também representa uma categoria pequena em que todos os morfismos são invertíveis.

Definição

Um grupoide pode ser definido a partir da teoria das categorias ou de forma axiomática.

Na teoria das categorias, um grupoide é uma categoria pequena ${\mathcal {C}}$ em que todo morfismo é invertível, isto é, é um isomorfismo. Isto é:

• A classe dos objetos $Obj_{\mathcal {C}}$ e a classe dos morfismos $Mor_{\mathcal {C}}(A,B)$ são conjuntos, para quaisquer $A,B\in Obj_{\mathcal {C}}$.
• Para todo $f\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)$ existe $g\in Mor_{\mathcal {C}}(B,A)$ tal que $f\circ g=Id_{B}$ e $g\circ f=Id_{A}$, isto é, $g=f^{-1}$

Para a definição axiomática de grupoide, seja $G$ um conjunto não-vazio munido de uma operação binária definida parcialmente . Dados $g,h\in G$, dizemos que existe $gh$ se o produto estiver definido, e escrevemos $\exists gh$. Um elemento $e\in G$ é dito identidade se $\exists eg$ e $\exists ge$ então $eg=g=ge$. Então $G$ é um grupoide se satisfaz os seguintes axiomas:

• Para todo $g,h,l\in G$, $\exists g(hl)$ se e somente se $\exists (gh)l$ e, neste caso, são iguais;
• Para todo $g,h,l\in G$, $\exists g(hl)$ se e somente se $\exists gh$ e $\exists hl$;
• Para cada $g\in G$ existem (únicos) elementos $d(g),r(g)\in G$ tais que $gd(g)=g=r(g)g$. Estes elementos são, respectivamente, identidade domínio e identidade imagem de $g$;
• Para cada $g\in G$ existe um (único) elemento $g^{-1}\in G$ tal que $g^{-1}g=d(g)$ e $gg^{-1}=r(g)$.

Observe que podemos identificar um elemento $g\in G$ com um morfismo $g\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)$ e, neste caso, $d(g)$ e $r(g)$ correspondem aos morfismos identidade do domínio e da imagem de $g$. É comum que, neste caso, identifiquemos um objeto $A$ com o seu morfismo identidade $Id_{A}$.

Exemplos

O conjunto das matrizes quadradas de ordem $n$ com entradas reais $M_{n}(\mathbb {R} )$ é um grupo abeliano com a operação de adição. A união dos grupos $\bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}(\mathbb {R} )$ é um grupoide, e a soma está definida apenas para matrizes de mesma ordem. Podemos estender este exemplo para matrizes retangulares, também.