Hiperdeterminante

Em álgebra, hiperdeterminante é uma generalização do determinante. Onde um determinante é um valor escalar de uma função definida numa matriz quadrada nxn. Um hiperdeterminante é definida como um vetor multidimensional de números ou hipermatriz. Como um determinante, o hiperdeteriminante é um polinômio homogêneo com coeficientes inteiros nos elementos da hipermatriz. Há muitas outras propriedades dos determinantes generalizados como hiperdeterminantes, porém não como um determinante, o hiperdeterminante não tem uma simples interpretação geométrica em termos de volumes. Ao invés de mais comumente ser definido como um discriminante para um ponto singular num conjunto escalar.

A notação para determinantes é estendida para hiperdeterminantes sem mudanças ou ambiguidades. Desde que o hiperdeterminante de uma hipermatriz A pode ser escrito usando uma notação com barras verticais como |A| ou então det(A).

O texto-padrão moderno para hiperdeterminantes é "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants", de Gel'fand, Kapranov e Zelevinsky[2] referido a partir de agora como GKZ. Suas notações e terminologias serão seguidas aqui.

Hiperdeterminante de Cayley

No caso especial de uma hipermatrix 2x2x2, o hiperdeterminante é conhecido como hiperdeterminante de Cayley após o matemático britânico Arthur Cayley tê-lo descoberto. A expressão quártica para o hiperdeterminante de Cayley de uma hipermatriz A com componentes a_ijk, i,j,k = 0 ou 1 é dado por

det(A) = a₀₀₀²a₁₁₁² + a₀₀₁²a₁₁₀² + a₀₁₀²a₁₀₁² + a₁₀₀²a₀₁₁²

- 2a₀₀₀a₀₀₁a₁₁₀a₁₁₁ - 2a₀₀₀a₀₁₀a₁₀₁a₁₁₁ - 2a₀₀₀a₀₁₁a₁₀₀a₁₁₁ - 2a₀₀₁a₀₁₀a₁₀₁a₁₁₀ - 2a₀₀₁a₀₁₁a₁₁₀a₁₀₀ - 2a₀₁₀a₀₁₁a₁₀₁a₁₀₀

+ 4a₀₀₀a₀₁₁a₁₀₁a₁₁₀ + 4a₀₀₁a₀₁₀a₁₀₀a₁₁₁

Esta expressão atua como um discriminante no sentido que é igual a zero se e somente se há uma solução não trivial em seis incógnitas xⁱ, yⁱ, zⁱ, (com índice sobrescrito i = 0 or 1) do sistema com o seguinte modelo de equações

a₀₀₀x⁰y⁰ + a₀₁₀x⁰y¹ + a₁₀₀x¹y⁰ + a₁₁₀x¹y¹ = 0

a₀₀₁x⁰y⁰ + a₀₁₁x⁰y¹ + a₁₀₁x¹y⁰ + a₁₁₁x¹y¹ = 0

a₀₀₀x⁰z⁰ + a₀₀₁x⁰z¹ + a₁₀₀x¹z⁰ + a₁₀₁x¹z¹ = 0

a₀₁₀x⁰z⁰ + a₀₁₁x⁰z¹ + a₁₁₀x¹z⁰ + a₁₁₁x¹z¹ = 0

a₀₀₀y⁰z⁰ + a₀₀₁y⁰z¹ + a₀₁₀y¹z⁰ + a₀₁₁y¹z¹ = 0

a₁₀₀y⁰z⁰ + a₁₀₁y⁰z¹ + a₁₁₀y¹z⁰ + a₁₁₁y¹z¹ = 0

O hiperdeterminante pode ser escrito de uma forma mais compacta usando a notação de Einstein para somatórios com índices e o símbolo de Levi-Civita, onde tal é um tensor de densidade com componentes ε^ij especificado por ε⁰⁰ = ε¹¹ = 0, ε⁰¹ = -ε¹⁰ = 1:

b_kn = (1/2)ε^ilε^jma_ijka_lmn

det(A) = (1/2)ε^ilε^jmb_ijb_lm

Usando a mesma convenção nós podemos definir uma forma multilinear.

f(x,y,z) = a_ijkxⁱy^jz^k

Então o hiperdeterminante é zero se e somente se há um ponto não-trivial onde todas as derivadas de f desaparecem.

Ver também

• Matriz
• Determinante

Referências

[1] Cayley, A. "On the Theory of Linear Transformations." Cambridge Math. J. 4, 193-209, 1845.

[2] Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; and Zelevinsky, A. V. "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" Birkhauser 1994.

[3] Carla Dionisi, Giorgio Ottaviani, "The Binet-Cauchy Theorem for the Hyperdeterminant of boundary format multidimensional Matrices" Arxiv

[4] Luque, J-G, Thibon, J-Y "The polynomial Invariants of Four Qubits" Arxiv

[5] Crilly T, Crilly A.J. "Arthur Cayley: Mathematician Laureate of the Victorian Age", p176, JHU Press 2006.

[6] Miyake A, "Classification of multipartite entangled states by multidimensional determinants", Arxiv

[7] Duff M., "String triality, black hole entropy and Cayley's hyperdeterminant", Arxiv