Homeomorfismo

Um homeomorfismo é a noção principal de congruência em topologia, sendo o isomorfismo de espaços topológicos. A palavra homeomorfismo vem da união de duas palavras gregas: homoios (igual) e morphe (forma), ou seja "mesma forma"; o termo foi introduzido pelo matemático Henri Poincaré, em 1895.

Um homeomorfismo entre uma caneca e uma rosquinha

Definição

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e que a sua inversa seja contínua. Essa aplicação é chamada de homeomorfismo.

Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.

Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.

Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, que a função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Exemplos

Exemplos de espaços homeomorfos:

• No plano ($\mathbb {R} ^{2}$), um quadrado e uma circunferência são homeomorfos;
• Quaisquer duas curvas simples no espaço são homeomorfas;
• Uma caneca e uma rosquinha são homeomorfos;
• O domínio de uma função contínua e o seu gráfico — conjunto dos pontos $(x,f(x))$ — são homeomorfos, sendo o domínio um subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ e o contradomínio o $\mathbb {R} ^{m}$
• Uma bola no $\mathbb {R} ^{n}$ e uma bola no $\mathbb {R} ^{m}$ só são homeomorfas se $n=m$.

Exemplos de homeomorfismos:

• Translações e homotetias de $\mathbb {R} ^{n}$ em $\mathbb {R} ^{n}$.

Exemplos de aplicações não-homeomorfas:

• Não basta que a função seja contínua e invertível: a função $f:[0,2\ \pi )\rightarrow S^{1}\,$ definida por $f(x)=(\sin x,\cos x)\,$ não é um homeomorfismo.

Propriedades

• A aplicação composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.

Resultados relevantes

• Sejam X compacto e Y Hausdorff. Dada uma função bijetiva e contínua $f:X\mapsto Y$, temos que $f$ é um homeomorfismo.

Outras noções de igualdade topológica

• Difeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Conjectura de Poincaré

Bibliografia

• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .
• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise. Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: [s.n.]