Identidade de Parseval

Na análise matemática, a identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na somatória da série de Fourier de uma função. Geometricamente, é um teorema de Pitágoras generalizado para espaços de produtos internos (que podem ter uma infinidade incontável de vetores de base). A identidade do Parseval também é chamada de teorema da energia ou teorema da energia de Rayleigh.

Informalmente, a identidade afirma que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da função,

$$\Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}$$

onde os coeficientes de Fourier $c_{n}$ de $f$ são dados por

$$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.$$

Mais formalmente, o resultado é válido conforme declarado fornecido $f$ é uma função quadrada integrável ou, mais geralmente, no espaço Lp $L^{2}[-\pi ,\pi ].$ Um resultado semelhante é o teorema de Plancherel, que afirma que a integral do quadrado da transformada de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da própria função. Em uma dimensão, para$f\in L^{2}(\mathbb {R} ),$

$$\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.$$

Definição

Seja ${\hat {u}}_{1},{\hat {u}}_{2},...$ um conjunto ortonormal de vetores em um espaço euclidiano de dimensão infinita, e seja ${\hat {u}}$ um vetor qualquer nesse espaço. Temos que,

$\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle ({\hat {u}}\cdot {\hat {u_{k}}})^{2}=\mid \mid {\hat {u}}\mid \mid ^{2}$

Essa expressão é a famosa igualdade de Parseval. A mesma expressão também pode ser usada indicando uma desigualdade, a chamada desigualdade de Bessel.

$\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle ({\hat {u}}\cdot {\hat {u_{k}}})^{2}\leq \mid \mid {\hat {u}}\mid \mid ^{2}$

No caso das séries de Fourier, essa igualdade é dada por

$\mid \mid f\mid \mid ^{2}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx={\frac {A_{0}}{2}}+\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle (a_{k}^{2}+b_{k}^{2})$

Teorema

Seja $f$uma função diferenciável continuamente por partes em [-π,π], então seu desenvolvimento em serie de Fourier converge pontualmente em [-π,π] e assume em $x_{0}$o valor ${\frac {f(x_{o}^{+})+f(x_{o}^{-})}{2}}$

Note que ao escrevermos a série de Fourier da função $f$ na forma abaixo estamos implicando que a série converge em média para $f(x)$.

$f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle (A_{k}\cos(kx)+B_{k}\operatorname {sen}(kx))$

$\lim _{N\to \infty }||f-\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle (A_{k}\cos(kx)+B_{k}\operatorname {sen}(kx))||\longrightarrow C$

Entretanto, o teorema apresentado explicita as condições nas quais ocorre a convergência pontual. Ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função $f(x)$ entre [-π,π] diferenciável continuamente por partes converge para $f(x_{0})$quando $x_{0}$ é um ponto de continuidade da função em questão.