Integração numérica

 Nota: Este artigo é sobre métodos para aproximar integrais definidas. Para métodos para resolver equações diferenciais ordinárias, veja métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias.

Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva.

Integração por retângulos.

Integração pelo método de Simpson.

Integração trapezoidal.

Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases:

• Decomposição do domínio em pedaços (um intervalo contido de sub-intervalos);
• Integração aproximada da função de cada pedaço;
• Soma dos resultados numéricos obtidos.

A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como:

• nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a função erro);
• a primitiva da função é muito complicada para ser avaliada;
• quando não se dipões de uma expressão analítica para o integrando, mas se conhece seus valores em um conjunto de pontos do domínio.

O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste na seguinte expressão:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}f(x_{i})\,$

onde $\{\alpha _{i}\}\,$ são coeficientes reais (chamados de pesos da quadratura) e $\{x_{i}\}\,$ são pontos de $[a,b]\,$(chamados de pontos da quadratura) .

Razões para integração numérica

Existem várias razões para realizar a integração numérica, em oposição à integração analítica por encontrar a antiderivada:

1 - O integrando f (x) pode ser conhecido apenas em certos pontos, como obtido por amostragem. Alguns sistemas embarcados e outros aplicativos de computador podem precisar de integração numérica por esse motivo;

2 - Uma fórmula para o integrando pode ser conhecida, mas pode ser difícil ou impossível encontrar uma antiderivada que seja uma função elementar . Um exemplo de tal integrando é f ( x ) = exp (- x ² ), a antiderivada do qual (a função de erro , vezes uma constante) não pode ser escrita na forma elementar;

3 - Pode ser possível encontrar uma antiderivada simbolicamente, mas pode ser mais fácil calcular uma aproximação numérica do que calcular a antiderivada. Esse pode ser o caso se a antiderivada for dada como uma série ou produto infinito, ou se sua avaliação exigir uma função especial que não está disponível.

História

Artigo principal: Quadrature (Mathematics)

Quadratura é um termo matemático histórico que significa calcular área. Os problemas de quadratura têm servido como uma das principais fontes de análise matemática. De acordo com a doutrina pitagórica, matemáticos da Grécia Antiga, entendiam o cálculo da área como o processo de construção geometricamente de um quadrado com a mesma área (quadratura). É por isso que o processo foi nomeado como quadratura. Por exemplo, uma quadratura do círculo, Lune de Hipócrates, A Quadratura da Parábola. Esta construção deve ser realizada apenas por meio de bússola e reto.

Os antigos babilônios usaram a regra trapezoidal para integrar o movimento de Júpiter ao longo da eclíptica.

Antigo método para encontrar a média geométrica

Para uma quadratura de um retângulo com os lados a e b é necessário construir um quadrado com o lado $x={\sqrt {a\!b}}$ (a média geométrica de a e b). Para isso, é possível utilizar o seguinte fato: se desenharmos o círculo com a soma de a e b como diâmetro, então a altura BH (de um ponto de sua conexão com a travessia com um círculo) é igual à sua média geométrica. A construção geométrica semelhante resolve um problema de uma quadratura para um paralelograma e um triângulo.

Problemas de quadratura para figuras curvilíneas são muito mais difíceis. A quadratura do círculo com bússola e reta tinha sido provada no século XIX como impossível. No entanto, para algumas figuras (por exemplo, a Lune de Hipócrates) uma quadratura pode ser realizada. As quadraturas de uma superfície de esfera e um segmento de parábola feito por Arquimedes tornaram-se a maior conquista da análise antiga.

Área de segmento parábola

• A área da superfície de uma esfera é igual a quadruplicar a área de um grande círculo desta esfera.
• A área de um segmento da parábola cortada por uma linha reta é 4/3 a área do triângulo inscrito neste segmento.

Para a comprovação dos resultados, Arquimedes utilizou o Método de exaustão de Eudoxo.

Na Europa medieval, a quadratura significava cálculo de área por qualquer método. Mais frequentemente, utilizou-se o Método de indivisíveis; era menos rigoroso, mas mais simples e poderoso. Com sua ajuda Galileu Galilei e Gilles de Roberval encontraram a área de um arco cicloide, Grégoire de Saint-Vincent investigou a área sob uma hipérbole (Opus Geometricum, 1647), e Alphonse Antonio de Sarasa, aluno e comentarista de Saint-Vincent, observou a relação desta área com logaritmos.

John Wallis algebrised este método: ele escreveu em sua série Arithmetica Infinitorum (1656), que agora chamamos de integral definitiva, e calculou seus valores. Isaac Barrow e James Gregory fizeram mais progressos: quadraturas para algumas curvas algébrias e espirais. Christiaan Huygens realizou com sucesso uma quadratura de alguns Sólidos da revolução.

A quadratura da hipérbole de São Vicente e de Sarasa proporcionou uma nova função, o logaritmo natural,de importância crítica.

Com a invenção do cálculo integral veio um método universal para o cálculo da área. Em resposta, o termo quadratura tornou-se tradicional, e em vez disso, a frase moderna "computação de uma integral univariada definitiva" é mais comum.

Ordem de aproximação

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.

Exemplos

Regras de Newton-Cotes

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método do ponto médio ou dos retângulos

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método dos trapézios

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método Simpson

As regras abaixo são conhecidas como Fórmulas de Newton-Cotes, há dois tipos delas as abertas e as fechadas. A regra do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cotes aberta. A regra trapezoidal e de Simpson são exemplos de uma categoria de métodos conhecida como fórmulas de Newton-Cotes fechada. A fórmula de Newton-Cotes é chamada fechada quando o conjunto de seus pontos incluem os extremos do intervalo de integração.

• Regra do Ponto Médio ou dos retângulos:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

• Regra Trapezoidal:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}$

• Regra de Simpson:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a){\frac {f(a)+4f({\frac {a+b}{2}})+f(b)}{6}}$

Integral	Valor exato	Regra dos retângulos	Regra trapezoidal	Regra de Simpson
$\int _{0}^{1}e^{x}dx$	$e-1\simeq 1,7183$	$e^{({\frac {1+0}{2}})}\simeq 1,6487$	${\frac {1+e}{2}}\simeq 1,8591$	${\frac {1+4e^{1/2}+e}{6}}\simeq 1,7189$
$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$	${\frac {\pi }{4}}\simeq 0,7854$	${\sqrt {1-0.5^{2}}}\simeq 0,8660$	${\frac {1}{2}}=0,5$	${\frac {1+4{\frac {\sqrt {3}}{2}}+0}{6}}\simeq 0,7440$

Erro de aproximação

Pode-se mostrar que o erro assumido ao aproximar a integral de uma função suficientemente diferenciável pelo método do ponto médio é de $+{\frac {h^{3}}{24}}f''(x_{0})\,$; método trapezoidal é $-{\frac {h^{3}}{12}}f''(x_{0})\,$, onde $x_{0}\,$ é um ponto do intervalo de integração e $h$ é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é $-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(x_{0})\,$.

Observação: Na medida em que o termo do erro para a regra do ponto médio e do trapezoidal envolve $f''$, estas regras fornecem resultados exatos quando aplicadas a qualquer função cuja derivada de 2ª ordem é igual a zero. Em partcular, é exata para qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2. Já o erro do método de Simpson envolve a derivada $4^{a}$ ordem, a regra de Simpson tem ordem de aproximação 3.

Métodos compostos

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\int _{a_{i}}^{b_{i}}f(x)dx$

onde $a_{1}=a\,$, $b_{i}=a_{i+1}\,$ e $b_{n}=b\,$. O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.

Exemplos

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação $x_{1}=a\,$, $x_{n}=b\,$ e $x_{n+1}=x_{n}+h\,$.

• Regra trapezoidal composta:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq {\frac {h}{2}}\left[f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\ldots +f(x_{n})\right]$

• Regra de Simpson composta:

$$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq {\frac {h}{3}}\left[f(x_{1})+4f(x_{2})+2f(x_{3})+4f(x_{4})+\ldots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]$$

aqui n deve ser um número ímpar.

Outros métodos de quadratura numérica

• Método de Romberg
• Quadratura Gauss-Tchebycheff
• Quadratura Gauss-Legendre

Método do Cálculo multi-dimensional integrante

• Método de Monte Carlo

Método de Cálculo determinante forma integral

• Método de Laplace para integrais do tipo $\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,{\mbox{d}}x\,$;
• Método de ponto-neck para integrais do tipo $I(\lambda )=\int _{\mathcal {C}}f(z)e^{\lambda g(z)}\,{\mbox{d}}z\,$.

Ver também

• Integração de Monte Carlo
• Diferenciação numérica
• Método dos elementos finitos
• Métodos das diferenças finitas

Referências

• numérique d'une intrégale
• https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration#Reasons_for_numerical_integration