Invariante modular

Em matemática, uma invariante modular de um grupo é um invariante de um grupo finito agindo em um espaço vetorial de característica positiva (geralmente dividindo a ordem do grupo). O estudo de invariantes modulares foi originado por volta de 1914 por Dickson (2004).

Dickson invariante

Quando G é o grupo linear geral finito GL_n(F_q) sobre o campo finito F_q da ordem de uma potência prima q atuando no anel F_q[X₁, ...,X_n] de modo natural, Dickson (1911) encontra um conjunto completo de invariantes como se segue.

Escreva [e₁, ...,e_n] para o determinante da matriz cujas entradas são Xq^e_j
i, onde e₁, ...,e_n são inteiros não negativos. Por exemplo, o determinante Moore [0,1,2] de ordem 3 é

${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{1}^{q}&x_{2}^{q}&x_{3}^{q}\\x_{1}^{q^{2}}&x_{2}^{q^{2}}&x_{3}^{q^{2}}\end{vmatrix}}$

Em seguida, sob a ação do um elemento g de GL_n(F_q) estes determinantes são todos multiplicados por det(g), por isso são todos os invariantes de SL_n(F_p) e as razões [e₁, ...,e_n]/[0,1,...,n−1] são invariantes de GL_n(F_q), chamadas invariantes Dickson. Dickson provou que o anel completo de invariantes F_q[X₁, ...,X_n]^GL_n(F_q) é uma álgebra polinomial sobre os n Dickson invariantes [0,1,...,i−1,i+1,...,n]/[0,1,...,n−1] for i=0, 1, ..., n−1. Steinberg (1987) deu uma prova curta do teorema de Dickson.

As matrizes [e₁, ...,e_n] são divisíveis por todas as formas lineares não-zero nas variáveis X_i com coeficientes no campo finito F_q. Em particular, o determinante de Moore [0,1,...,n−1] é um produto de tais formas lineares, tomado ao longo de 1+q+q²+...+q^n–1 representantes de n-1 espaço projetivo dimensional sobre o campo. Esta fatorização é similar à fatoração de determinante de Vandermonde em fatores lineares

Notas e referências

Referências

• Dickson, Leonard Eugene (1911), «A Fundamental System of Invariants of the General Modular Linear Group with a Solution of the Form Problem», Providence, R.I.: American Mathematical Society, Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 12 (1): 75–98, JSTOR 1988736 
• Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], On invariants and the theory of numbers, ISBN 978-0-486-43828-3, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, MR 0201389 
• Rutherford, Daniel Edwin (2007) [1932], Modular invariants, ISBN 978-1-4067-3850-6, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 27, Ramsay Press, MR 0186665 
• Sanderson, Mildred (1913), «Formal Modular Invariants with Application to Binary Modular Covariants», Providence, R.I.: American Mathematical Society, Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 14 (4): 489–500, JSTOR 1988702 
• Steinberg, Robert (1987), «On Dickson's theorem on invariants» (PDF), Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, ISSN 0040-8980, 34 (3): 699–707, MR 927606, consultado em 17 de fevereiro de 2012, cópia arquivada (PDF) em  🔗