Isomorfismo musical

Em matemática, o isomorfismo musical (ou isomorfismo canônico) é um isomorfismo entre o fibrado tangente TM e o fibrado cotangente T^∗M e uma variedade de Riemann dada por sua métrica. Existem isomorfismos similares em variedades simpléticas. O termo musical refere-se ao uso dos símbolos $\flat$ e $\sharp$.

Introdução

Uma métrica g em uma variedade Riemanniana M é um campo tensorial $g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)$ que é simétrico, não degenerado e positivo-definido. Ao fixar-se um dos dois parâmetros como um vetor $v_{p}\in T_{p}M$, se obtém um isomorfismo de espaços vectoriais:

${\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M$

definido por:

${\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)$

ou seja,

$\langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})$

Globalmente,

${\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M$

é um difeomorfismo.

Detalhes da motivação para o nome

O isomorfismo ${\hat {g}}$ e seu inverso ${\hat {g}}^{-1}$ se denominam isomorfismos musicais porque sobem a baixam os índices dos vetores. Por exemplo, um vetor de TM é escrito como $\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ e um covetor como $\alpha _{i}dx^{i}$, assim que o índice i sobe e baixa em $\alpha$ do mesmo modo que os símbolos sustenido ($\sharp$) e bemol ($\flat$) sobem e baixam um semitom.

Gradiente

Os isomorfismos musicais podem ser usados para definir o gradiente de uma função diferenciável sobre uma variedade riemanniana M como:

$\nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }$

Ver também

• Elevação e abaixamento de índices em tensores