Jacques Touchard

Jacques Touchard (1885 — 1968) foi um matemático francês.

Jacques Touchard
Nascimento	1885
Morte	1968 (83 anos)
Nacionalidade	Francês
Campo(s)	Matemática

Em 1953 provou que um número perfeito ímpar deve ser da forma 12k + 1 ou 36k + 9. Em combinatória e teoria das probabilidades introduziu os polinômios de Touchard. É também conhecido por sua solução do problema de ménage de determinação do arranjo de assentos nos quais homens e mulheres se alternam e casais não estão sentados ao lado de seu parceiro.

Identidade de Touchard-Catalan

A seguinte identidade algébrica envolvendo os números de Catalan

$C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0$

é aparentemente devida a Touchard (de acordo com Richard Peter Stanley, que menciona o assunto em seu artigo "Exercises on Catalan and Related Numbers", apresentando uma plenitude de diferentes definições dos números de Catalan). Para n ≥ 0 temos

$C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}.\,$

Usando a função geradora

$C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}$

pode ser provado por manipulação algébrica de séries geradoras que a identidade de Touchard é equivalente à equação funcional

${t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1$

satisfeita pela série geradora de Catalan C(t).