Kampyle de Eudóxio

Kampyle de Eudóxio ou Eudoxo (em grego: καμπύλη [γραμμή], "[linha] curvada, curva") é uma curva determinada por uma equação cartesiana:

Um grafo da Kampyle de Eudóxio com a = 1

$x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),$

da qual a solução x = y = 0 é retirada.

Parametrizações alternativas

Nas coordenadas polares, a Kampyle possui a seguinte equação

$r=a\sec ^{2}\theta .$

Analogamente, tem uma representação paramétrica como

$x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).$

História

Esta curva quártica foi estudada pelo astrónomo e matemático grego Eudoxo de Cnido (c. 408 a.C. – c. 347 a.C.), em relação ao problema clássico da duplicação do cubo.

Propriedades

A Kampyle é simétrica em ambos os eixos: $x$ e $y$. Corta o eixo $x$ em (±a,0). Tem pontos de inflexão em

$\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

(quatro inflexões, uma em cada quadrante). A primeira metade da curva é assimptota a $x^{2}/a-a/2$ quando $x\to \infty$, e pode ser escrita como

$y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},$

onde

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$

é o $n$-ésimo número de Catalan.

Ver também

• Lista de curvas

Referências

• Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. p. 141–142. ISBN 0-486-60288-5 

Ligações externas

• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Kampyle of Eudoxus. In: MacTutor History of Mathematics archive.
• Weisstein, Eric W. «Kampyle of Eudoxus» (em inglês). MathWorld