Lei da probabilidade total

Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.

Expressão Formal

A lei da probabilidade total é a proposição de que se $\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}$ é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,$

ou, alternativamente,

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),\,$

onde, para qualquer $n\,$ para que $\Pr(B_{n})=0\,$ estes termos são omitidos na soma, pois $\Pr(A\mid B_{n})\,$ é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal $\Pr(A)$ pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês).

A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo $B_{n}$ acima, e assumindo que $C$ é um evento independente com qualquer dos eventos de $B_{n}$:

$\Pr(A\mid C)=\sum _{n}\Pr(A\mid C\cap B_{n})\Pr(B_{n}\mid C)=\sum _{n}\Pr(A\mid C\cap B_{n})\Pr(B_{n})$

Expressão Informal

A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado $A$, com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de $B_{n}$, cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que $A$ vai acontecer?". A resposta para esta questão é $\Pr(A)$.

Exemplo

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5 000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5 000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de 5 000 horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:

${\Pr(A)=\Pr(A|B_{1})}\cdot {\Pr(B_{1})}+{\Pr(A|B_{2})}\cdot {\Pr(B_{2})}={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}$,

onde

• $\Pr(B_{1})={6 \over 10}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X
• $\Pr(B_{2})={4 \over 10}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y
• $\Pr(A|B_{1})={99 \over 100}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5 000 h
• $\Pr(A|B_{2})={95 \over 100}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5 000 h

Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5 000 horas.

Aplicações

Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, $B_{n}$ é o evento $X=x_{n}$. Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado $X=x_{n}$. Isto é,

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid X=x_{n})\Pr(X=x_{n})=\operatorname {E} [\Pr(A\mid X)],$

em que $Pr(A|X)$ é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional $Pr(A|X=x)$ é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo $g(x)=Pr(A|X=x)$. Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis ​​aleatórias contínuas, e a expressão se torna

$\Pr(A)=\operatorname {E} [\Pr(A\mid {\mathcal {F}}_{X})],$

onde ${\mathcal {F}}_{X}$ denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.

Outros Nomes

O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis ​​aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo. Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e Welsh como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.

Veja Também

• Lei da expectativa total (Law of total expectation)
• Lei da variância total (Law of total variance)
• Lei da acumulação total (Law of total cumulance)

Referências

• Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
• Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
• Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, and R. Alu Srinivasan, McGraw–Hill Professional, 2005, page 116.
• A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
• An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.