No Cálculo Vetorial , a Lei de Chandrasekhar–Wentzel foi derivada por Subrahmanyan Chandrasekhar e Gregor Wentzel em 1965 enquanto estudavam a estabilidade de uma gota de um líquido em rotação. [ 1] [ 2]
A equação de estado onde
S
{\displaystyle S}
é uma superfície delimitada por um contorno simples fechado
C
{\displaystyle C}
é:
L
=
∮
C
x
×
(
d
x
×
n
→
)
=
−
∫
S
(
x
×
n
→
)
∇
.
n
→
d
S
{\displaystyle L=\oint _{C}^{}x\times (dx\times {\vec {n}})=-\int _{S}^{}(x\times {\vec {n}})\nabla .{\vec {n}}\,dS}
.
Onde
x
{\displaystyle x}
é o vetor posição e
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
é o vetor normal unitário relativo a superfície analisada.
Uma consequência imediata ao se resolver tal integral é que, como a superfície
S
{\displaystyle S}
é fechada, a integral de linha resultante tende a
0
{\displaystyle 0}
, levando ao resultado,
∫
S
(
x
×
n
→
)
∇
.
n
→
d
S
=
0
{\displaystyle \int _{S}^{}(x\times {\vec {n}})\nabla .{\vec {n}}\,dS=0}
ou, na notação de índices, nós temos:
∫
S
x
j
∇
⋅
n
→
d
S
k
=
∫
S
x
k
∇
⋅
n
→
d
S
j
{\displaystyle \int _{S}x_{j}\nabla \cdot {\vec {n}}\,dS_{k}=\int _{S}x_{k}\nabla \cdot {\vec {n}}\,dS_{j}}
.
O que indica que o tensor
T
i
j
=
∫
S
x
j
∇
⋅
n
→
d
S
i
{\displaystyle T_{ij}=\int _{S}x_{j}\nabla \cdot {\vec {n}}\,dS_{i}}
definido em uma superfície fechada é sempre simétrico, ou seja,
T
i
j
=
T
j
i
{\displaystyle T_{ij}=T_{ji}}
.
Demonstração
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Escrevendo os vetores através na notação por índices, mas evitando a notação de Einstein na demonstração e tomando a integral de linha pelo sentido anti-horário, pode-se escrever
L
i
=
∫
C
[
d
x
i
(
n
i
x
j
+
n
k
x
k
)
+
d
x
j
(
−
n
i
x
j
)
+
d
x
k
(
−
n
i
x
k
)
]
{\displaystyle L_{i}=\int _{C}[dx_{i}(n_{i}x_{j}+n_{k}x_{k})+dx_{j}(-n_{i}x_{j})+dx_{k}(-n_{i}x_{k})]}
.
Convertendo a integral de linha da superfície usando o teorema de Stokes , obtêm-se
L
i
=
∫
S
{
n
i
[
∂
∂
x
j
(
−
n
i
x
k
)
−
∂
∂
x
k
(
−
n
i
x
j
)
]
+
n
j
[
∂
∂
x
k
(
n
j
x
j
+
n
k
x
k
)
−
∂
∂
x
i
(
−
n
i
x
k
)
]
+
n
k
[
∂
∂
x
i
(
−
n
i
x
j
)
−
∂
∂
x
j
(
n
j
x
j
+
n
k
x
k
)
]
}
d
S
{\displaystyle L_{i}=\int _{S}\left\{n_{i}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(-n_{i}x_{k})-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(-n_{i}x_{j})\right]+n_{j}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(-n_{i}x_{k})\right]+n_{k}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(-n_{i}x_{j})-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})\right]\right\}dS}
Fazendo algumas diferenciações necessárias e algumas manipulações matemáticas obtemos
L
i
=
∫
S
[
−
1
2
x
k
∂
∂
x
j
(
n
i
2
+
n
k
2
)
+
1
2
x
j
∂
∂
x
k
(
n
i
2
+
n
j
2
)
+
n
j
x
k
(
∂
n
i
∂
x
i
+
∂
n
k
∂
x
k
)
−
n
k
x
j
(
∂
n
i
∂
x
i
+
∂
n
j
∂
x
j
)
]
d
S
{\displaystyle L_{i}=\int _{S}\left[-{\frac {1}{2}}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}({n_{i}}^{2}+{n_{k}}^{2})+{\frac {1}{2}}x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}({n_{i}}^{2}+{n_{j}}^{2})+n_{j}x_{k}\left({\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial n_{k}}{\partial x_{k}}}\right)-n_{k}x_{j}\left({\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial n_{j}}{\partial x_{j}}}\right)\right]\,dS}
Que, em outras palavras,
L
i
=
∫
S
[
1
2
(
x
j
∂
∂
x
k
−
x
k
∂
∂
x
j
)
|
n
→
|
2
−
(
x
j
n
k
−
x
k
n
j
)
∇
⋅
n
→
]
d
S
{\displaystyle L_{i}=\int _{S}\left[{\frac {1}{2}}\left(x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}-x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)\,|{\vec {n}}|^{2}-(x_{j}n_{k}-x_{k}n_{j})\nabla \cdot {\vec {n}}\right]\,dS}
.
E, desde que
|
n
→
|
2
=
1
{\displaystyle |{\vec {n}}|^{2}=1}
, nós temos
L
i
=
−
∫
S
(
x
j
n
k
−
x
k
n
j
)
∇
.
n
→
d
S
{\displaystyle L_{i}=-\int _{S}^{}(x_{j}n_{k}-x_{k}n_{j})\nabla .{\vec {n}}\,dS}
provando o teorema.
Referências