Lema de Riemann-Lebesgue

Em matemática, o Lema de Riemann-Lebesgue recebe o nome em honra aos matemáticos Bernhard Riemann e Henri Lebesgue.

Enunciado

Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \,$ uma função L¹. Então:

$\lim _{w\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f(x)\cos(wx)dx=\lim _{w\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f(x)\sin(wx)dx=0$

Equivalentemente, pode-se escrever:

$\lim _{w\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{iwx}dx=0$

Ou seja, a transformada de Fourier de $f\,$ converge para zero, quando $w\,$ vai a infinito.

Convergência fraca

O lema de Riemann-Lebesgue mostra que a sequência $\sin(nt)$ converge fracamente para 0 no espaço de Hilbert L2 (a,b).