Lista de representações de e
A constante matemática e pode ser representada de diversas formas como um número real. Por e ser um número irracional, o mesmo não pode ser representado como uma fração, podendo porém ser representado como uma fração contínua. Usando o cálculo, e pode ser representado como série infinita, produto infinito ou limite de uma sequência.
Representação como uma fração contínua editar
Euler provou que o número e é representado como a fração contínua simples infinita[1] (sequência A003417 na OEIS):
![{\displaystyle e=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81563edb999e33997d9d0b72e410af11645ef23)
Sua convergência pode ser triplicada permitindo apenas um número fracional:
![{\displaystyle e=[1,{\textbf {0.5}},12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,{\textbf {4(4n-1)}},{\textbf {4n+1}},\ldots ].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1e7a5d8fa574ff908b69f98458d41126050fcb)
Seguem algumas frações contínuas generalizadas infinitas de e. A segunda é gerada da primeira por uma simples transformação de equivalência. A última é equivalente a [1, 0.5, 12, 5, 28, 9, ...].
Esta última é um caso especial da fórmula geral para a função exponencial:
Referências
- ↑ Sandifer, Ed (fevereiro de 2006), How Euler Did It: Who proved e is Irrational? (PDF), MAA Online, consultado em 23 de junho de 2012