Logaritmo de Zech

O logaritmo de Zech foi nomeado por Julius August Christoph Zech e é utilizado para implementar um corpo finito cujos elementos são representados por $\alpha$.

Definição

Se $\alpha$ é um elemento primitivo de um campo finito, então o logaritmo de Zech em relação à base $\alpha$ é definida pela equação:

$Z_{\alpha }(n)=\log _{\alpha }(1+\alpha ^{n}),$

ou, de maneira equivalente, a:

$\alpha ^{Z_{\alpha }(n)}=1+\alpha ^{n}.$

Para ser mais preciso, $Z_{\alpha }$ é uma função de módulos inteiros ordenados pelo multiplicativo $\alpha$, e obtém valores do mesmo conjunto. A fim de descrever cada elemento, é conveniente adicionar formalmente um novo símbolo $-\infty$, juntamente com as definições:

$\alpha ^{-\infty }=0$

$n+(-\infty )=-\infty$

$Z_{\alpha }(-\infty )=0$

$Z_{\alpha }(e)=-\infty$

em que e é um número inteiro que satisfaça $\alpha ^{e}=-1$, o qual mostra que e = 0 para um campo de características 2, e $e={\frac {q-1}{2}}$ para um campo finito de características ímpares com q elementos.

Usando o logaritmo Zech, um campo finito aritmético pode ser expresso na representação exponencial:

$\alpha ^{m}+\alpha ^{n}=\alpha ^{m}\cdot (1+\alpha ^{n-m})=\alpha ^{m}\cdot \alpha ^{Z(n-m)}=\alpha ^{m+Z(n-m)}$

$-\alpha ^{n}=(-1)\cdot \alpha ^{n}=\alpha ^{e}\cdot \alpha ^{n}=\alpha ^{e+n}$

$\alpha ^{m}-\alpha ^{n}=\alpha ^{m}+(-\alpha ^{n})=\alpha ^{m+Z(e+n-m)}$

$\alpha ^{m}\cdot \alpha ^{n}=\alpha ^{m+n}$

$\left(\alpha ^{m}\right)^{-1}=\alpha ^{-m}$

$\alpha ^{m}/\alpha ^{n}=\alpha ^{m}\cdot \left(\alpha ^{n}\right)^{-1}=\alpha ^{m-n}$