Matriz anti-hermitiana

Em álgebra linear, uma matriz quadrada com entradas complexas é dita anti-hermitiana ^{(português brasileiro)} ou anti-hermítica ^{(português europeu)} se sua conjugada transposta é a negativa da matriz original. Isto é, a matriz $A$ é anti-hermitiana se satisfaz a relação

$a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$

para todo $i$ e $j$, onde $a_{ij}$ é o elemento na linha $i$ e coluna $j$ de $A$, e a barra superior denota o complexo conjugado.

Matrizes anti-hermitianas podem ser entendidas como versões complexas de matrizes antissimétricas, ou como análogo matricial de números puramente imaginários. O conjunto de todas as matrizes anti-hermitianas $n\times n$ forma a álgebra de Lie $u(n)$, que corresponde ao grupo de Lie U(n). O conceito pode ser generalizado para incluir transformações lineares de qualquer espaço vetorial complexo com uma norma sesquilinear.

Notar que o adjunto de um operador depende do produto escalar considerado sobre o espaço real ou complexo $n$ dimensional $K^{n}$. Se $(\cdot |\cdot )$ denota o produto escalar sobre $K^{n}$, então afirmar que $A$ é anti-adjunta significa que para todo $u,v\in K^{n}$ tem-se $(Au|v)=-(u|Av)\,$.

Exemplo

Por exemplo, a seguinte matriz é anti-hermitiana

$A={\begin{bmatrix}-i&2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}$

pois

$-A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}$

é o transposto conjugado de $A$.

Ver também

• Matriz hermitiana
• Matriz transposta conjugada
• Matriz normal
• Matriz antissimétrica
• Matriz unitária

Bibliografia

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, ISBN 978-0-521-38632-6, Cambridge University Press .
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, ISBN 978-0-89871-454-8, SIAM .