Na teoria de controle , a matriz de transição de estado é uma matriz cujo produto com o vetor de estado
x
{\displaystyle x}
em um momento inicial
t
0
{\displaystyle t_{0}}
permite obter
x
{\displaystyle x}
após um tempo
t
{\displaystyle t}
, permitindo assim conhecer o estado de um sistema em qualquer instante futuro. A matriz de transição de estado pode ser usada para obter a solução geral de sistemas dinâmicos lineares.
A matriz de transição de estado é usada para encontrar a solução para uma representação geral no espaço de estado de um sistema linear da seguinte forma
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
+
B
(
t
)
u
(
t
)
,
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}
,
Onde
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
são os estados do sistema,
u
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} (t)}
é o sinal de entrada,
A
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (t)}
e
B
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (t)}
são funções de matriz , e
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
é a condição inicial em
t
0
{\displaystyle t_{0}}
. Usando a matriz de transição de estado
Φ
(
t
,
τ
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}
, a solução é dada por:[ 1] [ 2]
x
(
t
)
=
Φ
(
t
,
t
0
)
x
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
Φ
(
t
,
τ
)
B
(
τ
)
u
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }
O primeiro termo é conhecido como resposta de entrada zero e o segundo termo é conhecido como resposta de estado zero .
Série Peano – Baker
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A matriz de transição mais geral é dada pela série Peano-Baker
Φ
(
t
,
τ
)
=
I
+
∫
τ
t
A
(
σ
1
)
d
σ
1
+
∫
τ
t
A
(
σ
1
)
∫
τ
σ
1
A
(
σ
2
)
d
σ
2
d
σ
1
+
∫
τ
t
A
(
σ
1
)
∫
τ
σ
1
A
(
σ
2
)
∫
τ
σ
2
A
(
σ
3
)
d
σ
3
d
σ
2
d
σ
1
+
.
.
.
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}
Onde
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
é a matriz de identidade . Esta matriz converge de maneira uniforme e absoluta para uma solução que existe e é única.[ 2]
Outras propriedades
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A matriz de transição de estado
Φ
{\displaystyle \mathbf {\Phi } }
satisfaz os seguintes relacionamentos:
1 É contínuo e possui derivados contínuos.
2, nunca é singular; de fato
Φ
−
1
(
t
,
τ
)
=
Φ
(
τ
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}
e
Φ
−
1
(
t
,
τ
)
Φ
(
t
,
τ
)
=
I
{\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}
, Onde
I
{\displaystyle I}
é a matriz de identidade.
3 -
Φ
(
t
,
t
)
=
I
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t)=I}
para todos
t
{\displaystyle t}
.[ 3]
4 -
Φ
(
t
2
,
t
1
)
Φ
(
t
1
,
t
0
)
=
Φ
(
t
2
,
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}
para todos
t
0
≤
t
1
≤
t
2
{\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}
.
5 Satisfaz a equação diferencial
∂
Φ
(
t
,
t
0
)
∂
t
=
A
(
t
)
Φ
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}
com condições iniciais
Φ
(
t
0
,
t
0
)
=
I
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I}
.
6 A matriz de transição de estado
Φ
(
t
,
τ
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}
, dado por
Φ
(
t
,
τ
)
≡
U
(
t
)
U
−
1
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}
onde o
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
matriz
U
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {U} (t)}
é a matriz de solução fundamental que satisfaz
U
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
U
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}
com condição inicial
U
(
t
0
)
=
I
{\displaystyle \mathbf {U} (t_{0})=I}
.
7 Dado o estado
x
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}
a qualquer momento
τ
{\displaystyle \tau }
, o estado em qualquer outro momento
t
{\displaystyle t}
é dado pelo mapeamento
x
(
t
)
=
Φ
(
t
,
τ
)
x
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}
Estimativa da matriz de transição de estado
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No caso invariante no tempo, podemos definir
Φ
{\displaystyle \mathbf {\Phi } }
, usando a matriz exponencial , como
Φ
(
t
,
t
0
)
=
e
A
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}
.
No caso da variante do tempo, a matriz de transição de estado
Φ
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}
pode ser estimado a partir das soluções da equação diferencial
u
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}
com condições iniciais
u
(
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})}
dado por
[
1
,
0
,
…
,
0
]
T
{\displaystyle [1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}}
,
[
0
,
1
,
…
,
0
]
T
{\displaystyle [0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}}
,. . .,
[
0
,
0
,
…
,
1
]
T
{\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}}
. As soluções correspondentes fornecem o
n
{\displaystyle n}
colunas de matriz
Φ
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}
. Agora, da propriedade 4,
Φ
(
t
,
τ
)
=
Φ
(
t
,
t
0
)
Φ
(
τ
,
t
0
)
−
1
{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}}
para todos
t
0
≤
τ
≤
t
{\displaystyle t_{0}\leq \tau \leq t}
. A matriz de transição de estado deve ser determinada antes que a análise da solução variável no tempo possa continuar.
Expansão Magnus
Fórmula de Liouville
Referências
↑ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics . 275 : 155–159
↑ a b Rugh, Wilson (1996). Linear System Theory . Prentice Hall . Upper Saddle River, NJ: [s.n.] ISBN 0-13-441205-2
↑ Brockett, Roger W. (1970). Finite Dimensional Linear Systems . John Wiley & Sons . [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-471-10585-5
Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics . 275 : 155–159
Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory . Prentice Hall . [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-589763-7