Em matemática, uma medida exterior é uma função que associa a cada subconjunto de um dado conjunto um número real estendido não-negativo.

Uma teoria geral de medidas exteriores foi primeiramente introduzida[1] pelo matemático grego Constantin Carathéodory[2] com o objetivo de prover uma base para a teoria dos conjuntos mensuráveis e sigma-aditividade. O trabalho de Carathéodory em medidas exteriores encontra diversas aplicações na teoria da medida. O conceito de dimensão de Hausdorff foi construído com base em uma medida exterior, a medida de Hausdorff.

Definição editar

Seja X um conjunto e  , a família de todos os seus subconjuntos. Um função  

 

é dita uma medida exterior se satisfizer as seguintes propriedades:

 
 
  • Sub-aditividade contável : para cada família contável {Aj} de subconjuntos of X (não necessarimente disjuntos dois a dois)
 

Mensurabilidade no sentido de Carathéodory editar

Define-se um conjunto mensurável no sentido de Carathéodory da seguinte forma:

Um subconjunto E de X é φ-mensurável (ou Carathéodory-mensurável por φ) se e somente se para cada suconjunto A de X, vale a relação:

 

Teorema editar

Os conjuntos φ-measuráveis formam uma σ-algebra e φ restrito aos conjuntos mensuráveis é uma medida (matemática) completa e sigma-aditiva.

Referências

  1. See pp379, C.D. Aliprantis, K.C. Border, Infinite Dimensional Analysis, 3rd ed, Springer 2006. ISBN 3-540-29586-0
  2. C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 1st ed, Berlin: Leibzig 1918, 2nd ed, New York: Chelsea 1948.

Bibliografia editar

Ver também editar