Modelo de Drude

O modelo Drude de condução elétrica foi proposto em 1900 por Paul Drude para explicar as propriedades de transporte de elétrons em materiais (especialmente metais). Basicamente, a lei de Ohm estava bem estabelecida e afirmava que a corrente J e a tensão V que impulsionam a corrente estão relacionadas à resistência R do material. O inverso da resistência é conhecido como condutância. Quando consideramos um metal de comprimento unitário e área de seção transversal, a condutância é conhecida como condutividade, que é o inverso da resistividade. O modelo de Drude tenta explicar a resistividade de um condutor em termos do espalhamento de elétrons (os portadores de eletricidade) pelos íons relativamente imóveis no metal que agem como obstruções ao fluxo de elétrons.

Modelo de Drude (em azul)

O modelo, que é uma aplicação da teoria cinética, assume que o comportamento microscópico dos elétrons em um sólido pode ser tratado classicamente e se comporta de maneira muito semelhante a uma máquina de pinball, com um mar de elétrons em constante agitação, saltando e voltando a saltar mais pesados, íons positivos relativamente imóveis.

Os dois resultados mais significativos do modelo Drude são uma equação eletrônica de movimento,

${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle \times \mathbf {B} }{m}}\right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$

e uma relação linear entre a densidade de corrente J e o campo elétrico E,

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

Aqui o tempo é descrito por $t$, $\langle p\rangle$ é o momento médio por elétron e $q$, $n$, $m$ e $\tau$ são, respectivamente, a carga do elétron, densidade numérica, massa e tempo livre médio entre as colisões iônicas. A última expressão é particularmente importante porque explica em termos semi quantitativos por que a lei de Ohm, uma das relações mais onipresentes em todo o eletromagnetismo, deve ser válida.

O modelo foi estendido em 1905 por Hendrik Antoon Lorentz (e, portanto, também é conhecido como o modelo Drude-Lorentz) Para dar a relação entre a condutividade térmica e a condutividade elétrica dos metais, e é um modelo clássico. Mais tarde, foi complementado com os resultados da teoria quântica em 1933 por Arnold Sommerfeld e Hans Bethe, levando ao modelo Drude-Sommerfeld.

Histórico

O físico alemão Paul Drude propôs seu modelo em 1900, quando a existência de átomos não estava clara, e não estava claro que os átomos estavam em uma escala microscópica. A primeira prova direta da existência de átomos através do cômputo do número de Avogadro num modelo microscópico é devida a Albert Einstein. O primeiro modelo moderno da estrutura atômica, devido a J.J. Thomson, data de 1904, e o posterior modelo de Rutherford, data de 1909. Drude iniciou seu trabalho a partir da descoberta dos elétrons, em 1897, por J.J. Thomson, assumindo como um modelo de sólidos simplificado, onde a região sólida é composta de centros de espalhamento positivamente carregados, e um mar de elétrons submersos no entorno destes centros de espalhamento, fazendo com que o sólido seja totalmente neutro eletricamente.

Explicação

O modelo de Drude supõe que um portador médio de carga elétrica está sujeito à ação de uma "força de resistência" $\,\gamma$. Em presença de um campo elétrico externo E satisfaz-se a seguinte equação diferencial:

$m{\frac {d}{dt}}\langle {\vec {v}}\rangle =q{\vec {E}}-\gamma \langle {\vec {v}}\rangle$

onde $\langle {\vec {v}}\rangle$ é a velocidade média, m é a massa efectiva e q a carga elétrica do portador de carga.

A solução estacionária (${\frac {d}{dt}}\langle {\vec {v}}\rangle =0$) desta equação diferencial é:

$\langle {\vec {v}}\rangle ={\frac {q\tau }{m}}{\vec {E}}=\mu {\vec {E}}$

onde:

$\,\tau ={\frac {m}{\gamma }}$ é o tempo livre médio de um portador de carga, e $\,\mu$ é a mobilidade elétrica. Se se introduz a densidade do gás de portadores de carga n (partículas por unidade de volume), podemos relacionar a velocidade média com uma corrente elétrica:

${\vec {J}}=nq\langle {\vec {v}}\rangle$

Pode-se demonstrar que o material satisfaz a lei de Ohm com uma condutividade elétrica em corrente contínua $\,\sigma _{0}$.

${\vec {J}}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}{\vec {E}}=\sigma _{0}{\vec {E}}$

O modelo de Drude permite também predizer a corrente como uma resposta a um campo elétrico variável no tempo com uma frequência angular $\,\omega$, em cujo caso:

$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}$

Onde se supõe que:

$E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t})$

$J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t})$

Em outras convenções, $i$ é substituido por $-i$ em todas as equações. A parte imaginária indica que a corrente está atrasada com respeito ao campo elétrico, o que se produz porque os elétrons necessitam aproximadamente um tempo $\,\tau$ para acelerarem-se em resposta a uma mudança eo campo elétrico aplicado. No caso prévio o modelo de Drude aplicou-se aos elétrons, mas também pode ser aplicado a buracos, quer dizer, aos portadores de carga positiva nos semicondutores.

Problemas do modelo

Este modelo simples oferece uma boa explicação para a condutividade de corrente contínua e corrente alterna em metais, o efeito Hall, e a condutividade térmica (devida a elétrons) em metais, mas falha ao não providenciar uma explicação para a disparidade entre as capacidades caloríficas dos metais em comparação com a dos materiais isolantes. Num isolante elétrico, esperar-se-ia que a capacidade térmica fosse zero, dado que não existem elétrons livres. Na realidade, os metais e os isolantes elétricos possuem aproximadamente a mesma capacidade térmica à temperatura ambiente. O modelo de Drude também falha em explicar a existência de portadores de carga aparentemente positivos como demonstra o efeito Hall.

Ver também

• Arnold Sommerfeld