Número pentagonal

Um número pentagonal é um número poligonal que é uma extensão do conceito de números triangulares e números quadrados para o pentágono, mas, diferentemente desses outros dois, o processso que envolve a construção dos números pentagonais não é uma simetria rotacional. O n-ésimo número pentagonl p_n é a quantidade de pontos distintos num padrão de pontos que consistem dos contornos de pentágonos regulares com os lados até n pontos, onde os pentágonos são sobrepostos de modo que eles compartilhem um vértice.

Representação visual dos 6 primeiros números pentagonais.

p_n é dado pela seguinte fórmula:

$p_{n}={\tfrac {3n^{2}-n}{2}}$

$\forall$ n ≥ 1. Os primeiros números pentagonais são:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 (sequência A000326 na OEIS).

O n-ésimo número pentagonal é um terço do 3n-1-ésimo número triangular.

Números pentagonais generalizados são obtidos a partir da fórmula citada acima, mas com n tomando valores da sequência 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., produzindo:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (sequência A001318 na OEIS).

Números pentagonais generalizados são importantes para a Teoria de partições de Euler, como pode ser exemplificado no Teorema do Número Pentagonal.

Testes para números pentagonais

Um dos modos mais simples de verificar se um determinado número natural positivo x é um número pentagonal é a partir do cálculo de

$\varphi ={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.$

O número x é pentagonal se, e somente se $\varphi \in \mathbb {N}$, ou seja, é um número natural. Neste caso, dizemos que x é o n-ésimo número pentagonal.

O teste dos quadrados perfeitos

Para números pentagonais generalizados, é o suficiente testar se

$24x+1$ é um quadrado perfeito.

Para números pentagonais não generalizados,em adição ao teste acima, é também necessário checar se

${\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6$

As propriedades matemáticas dos números pentagonais mostram que tais testes são suficientes para provar ou desprovar a pentagonalidade de um número.

Números pentagonais quadrados

Um número pentagonal quadrado é um número pentagonal que também é quadrado perfeito.

Os primeiros são:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (sequência A036353 na OEIS)

Existem infinitos números que satisfazem essa propriedade.

Veja também

• Número hexagonal
• Número triangular
• Número quadrado
• Número poligonal

Ligações externas

• Leonhard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers (em inglês) Trad: Leonhard Euler:Sobre as propriedades notáveis dos números pentagonais