Notação Bra-ket

Notação Bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, $\langle \phi |\psi \rangle ,$ consistindo de uma parte esquerda, $\langle \phi |,$ denominada bra, e uma parte direita, $|\psi \rangle ,$ denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.

Bras e kets

Uso mais comum: Mecânica quântica

As componentes reais do vetor 3D e a projeção da base; semelhanças entre cálculo notação vetorial e notação de Dirac.

Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é identificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, ${\mathcal {H}},$ ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como $|\psi \rangle ,$ que deve ser lido como "psi ket".

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

$$|\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},$$

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

$$\langle x|\psi \rangle =\psi (x)=ce^{-ikx}.$$

Todo ket $|\psi \rangle$ possui um bra dual, escrito como $\langle \psi |.$ Por exemplo, o bra correspondente ao $|\psi \rangle$ acima deve ser um vetor linha

$$\langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},...).$$

Isto é um funcional linear contínuo de $H$ para os números complexos $\mathbb {C} ,$ definido por:

$$\langle \psi |:H\to \mathbb {C} :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)$$

para todo ket $|\rho \rangle$

onde $\operatorname {IP} (\cdot ,\cdot )$ denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert. Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos $\langle \psi |\rho \rangle ,$ que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão $\langle \phi |\psi \rangle$ (matematicamente o coeficiente para a projeção de $\psi$ em $\phi$) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado $\psi$ para o colapso no estado $\phi .$

Ver também

• Espaço dual
• Estado quântico
• Espaço vetorial
• Produto interno
• Teorema da representação de Riesz

Bibliografia

1. J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Revised Edition) , Addison Wesley; 1993 ISBN 0-201-53929-2 (em inglês)