Operador de defasagem

Em econometria de séries temporais, Operador de defasagem é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente.

Definição formal

O operador defasagem "L" é definido como sendo um operador linear tal que, para qualquer valor $y_{t}$, teremos:

$\,L^{i}y_{t}=y_{t-i}\,$, ou seja, $L^{i}={\frac {y_{t-i}}{y_{t}}}$

onde $L^{i}$ significa simplesmente a defasagem de $y_{t}$ por "i" períodos.

Propriedades

As seguintes propriedades valem para os operadores defasagem

1. "i"pode assumir qualquer valor inteiro. Se assumir valor negativo, representa períodos à frente e não para trás:$\,L^{2}y_{t}=y_{t-2}\,$, $\,L^{-3}y_{t}=y_{t+3}\,$
2. A defasagem de uma constante "c" é a constante: $\,Lc=c\,$
3. Distributiva: $\left(L^{i}+L^{j}\right)\cdot y_{t}=L^{i}y_{t}+L^{j}y_{t}=y_{t-i}+y_{t-j}$
4. Associativa da multiplicação: $L^{i}\cdot L^{j}\cdot y_{t}=L^{i}\cdot \left(L^{j}y_{t}\right)=L^{i}\cdot y_{t-j}=y_{t-i-j}$

Utilidade

Os operadores defasagem permitem uma notação concisa para escrever equações a diferença.

Por exemplo, seja a equação de ordem "p":

$y_{t}=a_{0}+a_{1}\cdot y_{t-1}+a_{2}\cdot y_{t-2}+...+a_{p}\cdot y_{t-p}+\varepsilon _{t}$

Colocando todos os termos $y_{t-i}$ para o lado esquerdo da equação e os demais para o lado direito, temos:

$y_{t}-a_{1}\cdot y_{t-1}-a_{2}\cdot y_{t-2}-...-a_{p}\cdot y_{t-p}=a_{0}+\varepsilon _{t}$

Colocando $y_{t}$ em evidência, temos:

$\left[1-a_{1}{\frac {y_{t-1}}{y_{t}}}-a_{2}{\frac {y_{t-2}}{y_{t}}}-...-a_{p}{\frac {y_{t-p}}{y_{t}}}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}$

Utilizando o operador defasagem, podemos escrever esta equação como:

$\left[1-a_{1}L-a_{2}L^{2}-...-a_{p}L^{p}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}$

ou, de maneira ainda mais compacta,

$A\left(L\right)y_{t}=a_{0}+B\left(L\right)\varepsilon _{t}$,

onde $A\left(L\right)$ pode ser visto como um polinômio do operador defasagem. A notação $A\left(1\right)$ é usada para denotar a soma dos coeficientes:

$A\left(1\right)=1-a_{1}-a_{2}-...-a_{p}$

Ver também

• Econometria
• Série temporal