Ortogonalização
Em álgebra linear, ortogonalização é o processo de encontrar um conjunto de vetor ortogonal que gera um subespaço específico. Formalmente, começando com um conjunto linearmente independente de vetores {v1, ... , vk} em um espaço com produto interno (mais frequentemente o espaço euclidiano Rn), o processo de ortogonalização resulta em um conjunto de vetores ortogonais {u1, ... , uk} que geram o mesmo subespaço que os vetores v1, ... , vk. Todo vetor do novo conjunto é ortogonal a todos os demais vetores do novo conjunto; e o novo conjunto e o antigo possuem o mesmo espaço gerado.
Além disso, se o objetivo for obter vetores que são unitários, então o procedimento é chamado de ortonormalização.
Também é possível realizar o processo de ortonormalização com relação a qualquer forma bilinear simétrica (não necessariamente um produto interno, e não necessariamente sobre os números reais), mas os algoritmos usuais podem se deparar com divisão por zero nesta situação mais geral.
Algoritmos de ortogonalização editar
Estes são alguns dos métodos de ortogonalização:
- Processo de Gram–Schmidt, que utiliza projeção
- Transformação de Householder, que utiliza reflexão
- Rotação de Givens
Quando a ortogonalização é feita em um computador, geralmente prefere-se utilizar a transformação de Householder em vez do processo de Gram–Schmidt uma vez que ela é mais estável numericamente, ou seja, os erros de arredondamento tendem a ter efeitos menos graves.
Por outro lado, o processo de Gram–Schmidt produz o j-ésimo vetor ortogonalizado depois da j-ésima iteração, enquanto que a ortogonalização por reflexões de Householder produz todos os vetores somente no fim do processo. Isso faz com que somente o processo de Gram–Schmidt seja aplicável a métodos iterativos como a iteração de Arnoldi.
A rotação de Givens é paralelizada mais facilmente do que as transformações de Householder.
Referências editar
- J. Stoer & R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. Springer. 2 ed. p. 198. ISBN 0-387-97878-X.