O Oscilador Harmônico Fracionário é um dos melhores exemplos no qual a Modelagem Fracionária, feita via Cálculo Fracionário [ 1] traz uma descrição mais precisa da realidade comparada à equação de ordem inteira. Para isso, é necessário lembrar como funciona o Oscilador Harmônico Simples .
A equação diferencial associada a um Oscilador Harmônico [ 2] , no caso de um sistema massa-mola é dada, a partir da Segunda Lei de Newton por[ 3] . :
m
d
2
d
t
2
x
(
t
)
+
c
d
d
t
x
(
t
)
+
k
x
(
t
)
=
g
(
t
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)+c{\frac {d}{dt}}x(t)+kx(t)=g(t)}
,
na qual, temos um corpo de massa ‘‘m’’, no tempo ‘‘t’’, a partir da posição de equilíbrio, sujeito a uma força elástica, do tipo Hooke , ‘‘-kx(t)’’, uma força de amortecimento
c
d
d
t
x
(
t
)
{\displaystyle c{\frac {d}{dt}}x(t)}
e a uma força externa g(t), onde ‘‘c’’ e ‘‘k’’ são constantes positivas.
Analisa-se o particular caso na qual não conta com a presença de atritos, nem forças externas atuando sobre o sistema, sendo assim, a equação ficaria:
m
d
2
d
t
2
x
(
t
)
+
k
x
(
t
)
=
0
{\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)+kx(t)=0}
,
Gráfico da Solução do Oscilador Harmônico Simples
x
(
t
)
=
x
0
c
o
s
(
ω
0
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}cos({\omega _{0}}t)}
com as condições iniciais
x
(
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(0)=x_{0}}
e
x
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle x^{\prime }(0)=0}
.
Aplicando a Transformada de Laplace obtém-se:
m
s
2
F
(
s
)
−
m
s
x
0
+
k
F
(
s
)
=
0
⟹
F
(
s
)
=
x
0
s
s
2
+
ω
0
2
{\displaystyle ms^{2}F(s)-msx_{0}+kF(s)=0\implies F(s)=x_{0}{\frac {s}{s^{2}+{\omega _{0}}^{2}}}}
,
na qual ‘‘F(s)’’ é a transformada de Laplace de ‘‘x(t)’’, ‘‘s’’ é o parâmetro da transformada e
ω
0
2
=
k
/
m
{\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\sqrt {k/m}}}
.
Com a finalidade de recuperar a solução do problema, aplica-se a Transformada de Laplace Inversa na equação anterior, obtendo assim:
x
(
t
)
=
x
0
c
o
s
(
ω
0
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}cos({\omega _{0}}t)}
.
Representado pelo gráfico ao lado:
Oscilador Harmônico Fracionário
editar
Quando a modelagem fracionária é aplicada em alguma equação diferencial , espera-se que ao diminuir a ordem da derivada , obtenha-se uma explicação melhor da realidade.
Ao invés de considerar diferentes tipos de atrito na equação, substituímos a derivada de ordem 2, presente na equação do Oscilador harmônico simples por uma derivada no sentido de Caputo de ordem
α
{\displaystyle \alpha }
, com
1
<
α
⩽
2
{\displaystyle 1<\alpha \leqslant 2}
, com as condições iniciais
x
(
0
)
=
0
{\displaystyle x(0)=0}
e
x
′
(
0
)
=
v
0
{\displaystyle x^{\prime }(0)=v_{0}}
Ainda com a equação de ordem inteira,
x
′
′
(
t
)
+
ω
0
2
x
(
t
)
=
0
{\displaystyle x^{\prime \prime }(t)+{\omega _{0}}^{2}x(t)=0}
ou
x
′
′
(
t
)
=
−
ω
0
2
x
(
t
)
{\displaystyle x^{\prime \prime }(t)=-{\omega _{0}}^{2}x(t)}
.
Aplicando o operador Integral de Ordem 1
(
I
1
f
(
t
)
=
∫
0
t
1
f
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle (I^{1}f(t)=\int _{0}^{t_{1}}f(t)dt)}
, para colocar a equação diferencial em forma de uma equação integral, temos:
∫
0
t
x
′
′
(
t
1
)
d
t
1
=
−
ω
0
2
∫
0
t
x
(
t
1
)
d
t
1
{\displaystyle \int _{0}^{t}x^{\prime \prime }(t_{1})dt_{1}=-{\omega _{0}}^{2}\int _{0}^{t}x(t_{1})dt_{1}}
x
′
(
t
1
)
|
0
t
=
−
ω
0
2
I
1
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle x^{\prime }(t_{1})|_{0}^{t}=-{\omega _{0}}^{2}I^{1}[x(t)]}
x
′
(
t
)
−
x
′
(
0
)
=
−
ω
0
2
I
1
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle x^{\prime }(t)-x^{\prime }(0)=-{\omega _{0}}^{2}I^{1}[x(t)]}
x
′
(
t
)
=
x
′
(
0
)
−
ω
0
2
I
1
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle x^{\prime }(t)=x^{\prime }(0)-{\omega _{0}}^{2}I^{1}[x(t)]}
Aplicando
I
1
{\displaystyle I^{1}}
novamente:
∫
0
t
x
′
(
t
1
)
d
t
1
=
∫
0
t
x
′
(
0
)
d
t
1
−
ω
0
2
∫
0
t
I
1
[
x
(
t
)
]
d
t
1
{\displaystyle \int _{0}^{t}x^{\prime }(t_{1})dt_{1}=\int _{0}^{t}x^{\prime }(0)dt_{1}-{\omega _{0}}^{2}\int _{0}^{t}I^{1}[x(t)]dt_{1}}
x
(
t
1
)
|
0
t
=
x
′
(
0
)
t
1
|
0
t
−
ω
0
2
I
2
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle x(t_{1})|_{0}^{t}=x^{\prime }(0)t_{1}|_{0}^{t}-{\omega _{0}}^{2}I^{2}[x(t)]}
x
(
t
)
=
x
(
0
)
+
t
x
′
(
0
)
−
ω
0
2
I
2
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle x(t)=x(0)+tx^{\prime }(0)-{\omega _{0}}^{2}I^{2}[x(t)]}
Convertemos a equação para trabalhar com o conceito de Integral Fracionária . Substituindo a ordem da Integral para uma de ordem não inteira, temos:
x
(
t
)
=
x
(
0
)
+
t
v
0
−
ω
0
α
I
α
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle x(t)=x(0)+tv_{0}-{\omega _{0}}^{\alpha }I^{\alpha }[x(t)]}
.
Antes de aplicar a Transformada de Laplace , precisamos lembrar que:
L
{
x
(
t
)
}
=
X
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{x(t)}\right\}=X(s)}
, na qual ‘‘s’’ é o parâmetro da transformada.
I
α
f
(
t
)
=
ϕ
α
∗
f
(
t
)
{\displaystyle I^{\alpha }f(t)={\phi }_{\alpha }*f(t)}
,
A integral fracionária é definida pelo produto de convolução
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
entre a função de Gel’fand Shilov [ 4] e ‘‘f(t)’’, daí temos que:
I
α
f
(
t
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
0
t
f
(
τ
)
(
t
−
τ
)
1
−
α
d
τ
{\displaystyle I^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{(t-\tau )^{1-\alpha }}}d\tau }
Aplicando a Transformada, temos:
X
(
s
)
=
x
0
s
+
v
0
s
2
−
ω
0
2
L
{
ϕ
α
(
t
)
∗
x
(
t
)
}
{\displaystyle X(s)={\frac {x_{0}}{s}}+{\frac {v_{0}}{s^{2}}}-{\omega _{0}}^{2}{\mathcal {L}}\left\{\phi _{\alpha }(t)*x(t)\right\}}
[ nota 1]
[
1
+
ω
0
2
s
−
α
]
X
(
s
)
=
x
0
s
−
1
+
v
0
s
−
2
{\displaystyle [1+{\omega _{0}}^{2}s^{-\alpha }]X(s)=x_{0}s^{-1}+v_{0}s^{-2}}
X
(
s
)
=
x
0
s
α
−
1
s
α
+
ω
0
2
+
v
0
s
α
−
2
s
α
+
ω
0
2
{\displaystyle X(s)=x_{0}{\frac {s^{\alpha -1}}{s^{\alpha }+{\omega _{0}}^{2}}}+v_{0}{\frac {s^{\alpha -2}}{s^{\alpha }+{\omega _{0}}^{2}}}}
Como :
L
{
t
β
−
1
E
α
,
β
(
k
t
α
)
}
=
s
α
−
β
s
α
−
k
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(kt^{\alpha })}\right\}={\frac {s^{\alpha -\beta }}{s^{\alpha }-k}}}
, se
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
e
k
=
−
ω
0
α
{\displaystyle k=-{\omega _{0}}^{\alpha }}
, podemos aplicar a Transformada de Laplace Inversa, resultando em:
x
(
t
)
=
x
0
E
α
(
−
(
ω
0
t
)
α
)
+
v
0
t
E
α
,
2
(
−
(
ω
0
t
)
α
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })+v_{0}tE_{\alpha ,2}(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })}
,
onde
E
α
(
z
)
{\displaystyle E_{\alpha }(z)}
e
E
α
,
β
(
z
)
{\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)}
são as funções de Mittag-Leffler [ 5] com um e dois parâmetros respectivamente.
[ nota 2]
[ nota 3]
Para
v
0
=
0
{\displaystyle v_{0}=0}
x
(
t
)
=
x
0
E
α
(
−
(
ω
0
t
)
α
)
.
{\displaystyle x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha }).}
Tomando o limite:
lim
α
→
2
x
(
t
)
=
x
0
E
2
(
−
(
ω
0
t
)
α
)
{\displaystyle \lim _{{\alpha }\to 2}x(t)=x_{0}E_{2}(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })}
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
ω
0
t
)
2
k
Γ
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\omega _{0}}t)^{2k}}{\Gamma (2k+1)}}}
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
ω
0
t
)
2
k
(
2
k
)
!
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\omega _{0}}t)^{2k}}{(2k)!}}}
=
x
0
c
o
s
(
ω
0
t
)
.
{\displaystyle =x_{0}cos({\omega _{0}}t).}
Ou seja, recupera-se a solução do oscilador harmônico de ordem inteira.
Representação Gráfica
editar
Gráfico de
x
(
t
)
=
x
0
E
α
(
−
(
ω
0
t
)
α
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })}
[ 6]
A solução fracionária
x
(
t
)
=
x
0
E
α
(
−
(
ω
0
t
)
α
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })}
pode ser visualizada no gráfico, com diferentes valores para a ordem da derivada. Por conveniência toma-se
x
0
=
1
{\displaystyle x_{0}=1}
É possível observar que para
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2}
recupera-se a solução para o oscilador harmônico simples, e para
α
<
2
{\displaystyle \alpha <2}
obtém-se soluções parecidas com o oscilador harmônico amortecido. Assim, fica claro que a modelagem fracionária nos proporciona um detalhamento mais preciso da realidade.
↑ A Transformada de Laplace da Função Gel'fand Shilov é dada por :
L
{
ϕ
v
(
t
)
}
=
s
−
v
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\phi _{v}(t)\right\}=s^{-v}}
.
↑ A função de Mittag-Leffler de um parâmetro é definida por:
E
α
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
k
Γ
(
α
x
+
1
)
.
{\displaystyle E_{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha x+1)}}.}
Sejam x ,α complexos, com Re( α)>0 .
↑ A função de Mittag-Leffler de dois parâmetros é definida por:
E
α
,
β
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
k
Γ
(
α
k
+
β
)
.
{\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}.}
Sejam x ,α e β complexos, com Re( α)>0 e Re( β)>0 .
↑ CAMARGO, R.F. Cálculo fracionário e aplicações . 2009. 141f. Tese (Doutorado em Matemática) - Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, Unicamp, Campinas - SP.
↑ «Oscilador harmônico» . Wikipédia, a enciclopédia livre . 22 de abril de 2016
↑ CAMARGO, R. F.; OLIVEIRA, E. C.; Cálculo Fracionário . São Paulo: Editora Livraria da Física, 2015. 184p
↑ «Função de Gel'fand Shilov» . Wikipédia, a enciclopédia livre . 21 de novembro de 2016
↑ «Função de Mittag-Leffler» . Wikipédia, a enciclopédia livre . 21 de novembro de 2016
↑ Kuroda, L. K. B.; Tavoni, R.; Camargo, R.F..Oscilador Harmônico Fracionário ,Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 3, N. 2, 2015., encontrado em https://proceedings.sbmac.org.br/sbmac/article/download/980/993