Plano de Sorgenfrey

Em topologia, o plano de Sorgenfrey é frequentemente citado como contra-exemplo para várias conjecturas de outro modo plausíveis. Ele consiste do espaço produto de duas cópias da linha de Sorgenfrey, que é a reta real $\mathbb {R}$ com a topologia dos intervalos semi-abertos. A reta de Sorgenfrey e seu plano recebem tal nome em homenagem ao matemático Americano Robert Sorgenfrey.

Uma base para o plano de Sorgenfrey, denotado por $X$ a partir de agora, é portanto o conjunto dos retângulos que incluem o lado esquerdo, o canto sudoeste, e o lado inferior, e omite o canto sudeste, o lado direito, o canto nordeste, o lado superior, e o canto noroeste. Abertos de $X$ são uniões de tais retângulos.

$X$ é um exemplo de um espaço que é produto de espaços de Lindelöf que não é um espaço de Lindelöf. É também um exemplo de um espaço que é produto de espaços normais e não é normal.A chamada anti-diagonal, Δ = { (x, −x) | x ∈ R } é um subconjunto discreto deste espaço, e é um subconjunto não-separável do espaço separável X. Isto mostra que a separabilidade não é herdada para subespaços fechados. Note que K = { (x, −x) | x ∈ Q } e Δ\K são conjuntos fechados que não podem ser separados por conjuntos abertos, mostrando que X não é normal.

Referências

• John L. Kelley, General topology, van Nostrand, 1955. Pp. 133–134.
• Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology, ISBN 978-0-486-68735-3 Dover reprint of 1978 ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag, MR507446