Potencial newtoniano

Em matemática, o potencial newtoniano é um operador que age como uma espécie de inversa do operador $-\triangle \,$. Ou seja, se $f\,$ é um campo em $\mathbb {R} ^{n}\,$, então o potencial newtoniano de $f\,$, ${\mathcal {G}}*f\,$ é definido como a solução $\phi \,$ do seguinte problema de Poisson:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle -\triangle \phi =f,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}\\\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|\phi (x)|/|x|^{3-n}=0\end{array}}\right.$

contanto que a solução exista.

Quando visto como um operador convolução, o núcleo newtoniano é dado pelo núcleo de Poisson:

${\mathcal {G}}(x)=\left\{{\begin{matrix}c_{1}\left|x\right|&:&d=1\\c_{2}\log {\left\|x\right\|}&:&d=2\\c_{d}\left\|x\right\|^{2-d}&:&d>2\end{matrix}}\right.$

$c_{d}\,$ é um constante de normalização e é tal que:

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {G}}(x)=1,d\geq 2$

Ver também

• Teoria do potencial
• Operador integral
• Equação de Poisson

Referências

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2 .