Princípio de Cavalieri

O princípio de Cavalieri (a base do método dos indivisíveis) refere-se às seguintes duas proposições em geometria:

Trecho do Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Teorema I. Proposição I.).

"Dadas duas regiões planas incluídas entre um par de retas paralelas, se toda reta paralela ao par de retas e que intersecta as regiões o faz em segmentos cujos comprimentos estão sempre na mesma razão, então as áreas das regiões também estão nessa mesma razão."

E a proposição análoga para sólidos:

"Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão."

O Princípio de Cavalieri pode ser usado para se deduzir uma fórmula para o volume da esfera.

História

Apesar do princípio levar o nome de Cavalieri, ele já era conhecido dos gregos antigos, tendo sido utilizado por Arquimedes, que relatou que ele já tinha sido empregado ainda antes por Eudoxo e Demócrito quando calcularam o volume de um cone.

Matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, século XVI, discípulo de Galilleu, foi considerado o autor do método capaz de achar áreas e volumes de sólidos com maior facilidade.
A principal ideia é que mesmo com o formato geométrico modificado ,a não ser quando perde ou ganha massa,o volume permanecerá o mesmo, essa é a principal ideia para o Princípio de Cavalieri.

Definição

Podendo ser utilizado de forma axiomática, este princípio pode ser compreendido supondo-se dois sólidos $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ em um plano horizontal $\alpha$e um plano paralelo a $\alpha$, que seria , $\alpha '$ de forma que ambos os planos cortem os sólidos em secções de mesma área para cada corte dado.Pelo princípio de Cavalieri é afirmado que o volume do sólido $\mathrm {A}$ é igual ao volume do sólido $\mathrm {B}$.

Considerando que os sólidos $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ sejam fatiados com o igual número de fatias contando, todas, a mesma altura e secções de mesma área, assim terão, aproximadamente o mesmo volume. Quanto mais fina as fatias, maior será a aproximação.

Volume do Cilindro ( Princípio de Cavalieri)

Sólidos geométricos, os cilindros e os prismas em qualquer secção feita por um plano paralelo à base, será compreendida uma figura plana congruente a base.

Suponha-se um plano $\alpha '$ paralelo ao plano $\alpha$ que contém bases de um cilindro e paralelepípedo.O corte feito por $\alpha '$ determina em ambos os sólidos figuras congruentes às suas bases, isto é com áreas iguais.

$A_{1}$: Corte feito pelo plano $\alpha '$ no paralelepípedo;

$\mathrm {A}$: Base do paralelepípedo no plano $\alpha$;

$A_{2}$:Corte feito pelo plano $\alpha '$ no cilindro;

$\mathrm {A}$: Base do cilindro no plano $\alpha$.

Sabendo que $A_{p}$(área do paralelepípedo) = $A_{c}$( área do cilindro),temos que $A_{1}$= $\mathrm {A}$ e $A_{2}$=$\mathrm {A}$. Sabendo que a base do paralelepípedo possui base igual ao do cilindro, denominada de $\mathrm {A}$.

Como $A_{1}$=$\mathrm {A}$=$A_{2}$, com o uso do Princípio de Cavalieri, temos que:

$V_{p}$( Volume do paralelepípedo)= $A_{B}$(área da base)$\times$$\mathrm {h}$(altura)=$V_{c}$(volume do cilindro)

Portanto:

$V_{c}$= $A_{B}$$\times$$\mathrm {h}$

O mesmo é aplicado ao prisma:

$V_{p}$(volume do prisma)=$A_{B}$$\times$$\mathrm {h}$

Volume da Esfera (Princípio de Cavalieri)

Consideremos uma esfera $E$ de centro $C_{1}$ e raio $R$, delimitada pelos planos $\alpha$e $\beta$ , paralelos entre si e tangentes à esfera.

Consideremos ainda o plano $\gamma$ entre os planos $\alpha$e $\beta$, paralelo a ambos. A intersecção entre o plano $\gamma$ e a esfera produzirá uma secção transversal, no formato de um círculo, de centro $C_{2}$ e raio $r_{1}$.

Denotemos por $d$ a distância entre o centro da esfera, $C_{1}$ e centro da secção transversal, $C_{2}$.

Construamos o ponto $A$, na intersecção da secção transversal com o plano $\gamma$. Ao traçarmos um segmento com extremos em $C_{1}$ e A, a medida desse segmento será igual a R. Teremos, então, o triângulo de vértices $C_{1}C_{2}A$, retângulo em $C_{2}$, com hipotenusa medindo $R$ e catetos medindo respectivamente $d$ e $r_{1}$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos $R^{2}={r_{1}}^{2}+d^{2}$que podemos reescrever como ${r_{1}}^{2}=R^{2}-d^{2}$.

Por outro lado, a área da seção será dada por ${A_{S}}_{1}=\pi {r_{1}}^{2}$. Substituindo o valor de ${r_{1}}^{2}$encontrado acima, temos ${A_{S}}_{1}=\pi (R^{2}-d^{2})$.

O Princípio de Cavalieri garante que se fatiarmos um sólido geométrico em várias posições transversais e deslocá-las ou reordená-las, ainda assim, o volume total dessas fatias seria igual ao volume desse sólido.

Consideremos então o sólido geométrico, formado por dois cones, unidos pelos vértices, denominado clepsidra, também conhecida como ampulheta, com o raio de suas bases igual a $R$. Sendo essa clepsidra delimitada pelos planos $\alpha$e $\beta$, a altura de cada cone será igual ao raio da esfera, ou seja, $R$.

Note que a clepsidra será intersectada pelo plano $\gamma$, e a secção transversal será um círculo de raio $r_{2}\neq r_{1}$. A área da secção da pode ser obtida por ${A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}$.

Como a altura do cone e o raio de sua base são iguais a $R$, na clepsidra, podemos utilizar a semelhança de triângulos, para deduzir que $R$está para $d$ , assim como $R$ está par a$r_{2}$, ou seja,

${\frac {R}{d}}={\frac {R}{r_{2}}}\Rightarrow R.r_{2}=R.d\Rightarrow r_{2}=d$.

Daí temos que ${A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}\Rightarrow {A_{S}}_{2}=d^{2}$.

Entretanto, o Princípio de Cavaliere só pode ser aplicado a secções transversais que apresentem a mesma área, o que não é o caso.

Construindo, entretanto, um cilindro de altura $2R$e base de raio $R$em torno da clepsidra, podemos utilizar a anti-clepsidra, que trata-se do que resta do cilindro ao retirarmos a clepsidra de seu interior.

Observe que a seção transversal produzida pela interseção do plano $\gamma$ com o cilindro terá seu raio medindo $R$.

Então a área da secção transversal da anti-clepsidra, que denotaremos por ${A_{S}}_{3}$poderá ser obtida pela área do da secção transversal do cilindro, subtraindo-se a secção transversal da clepsidra.

Logo, temos ${A_{S}}_{3}=\pi {R}^{2}-\pi {d}^{2}$. Colocando $\pi$em evidência, temos que ${A_{S}}_{3}=\pi ({R}^{2}-{d}^{2})$.

Observe que temos ${A_{S}}_{3}={A_{S}}_{1}$, isto é, as áreas das secções transversais da anti-clepsidra e da esfera tem medidas iguais, então podemos utilizar o Princípio de Cavalieri, para encontrar o volume da esfera.

O volume da esfera será igual ao volume da anti-clepsidra, conforme nos garante Cavalieri, e o volume da anti-clepsidra pode ser obtido a partir dos volumes de dois sólidos cujas fórmulas são conhecidas: o cilindro e o cone.

O Volume do cilindro em questão e dado por $V_{cilindro}=\pi .R^{2}.2R=2\pi .R^{3}$e o volume de cada cone dado por $V_{cone}={\frac {\pi .R^{2}.R}{3}}={\frac {\pi .R^{3}}{3}}$.

Assim, o volume da anti-clepsidra, ou seja, o volume da esfera, pode ser obtido, pelo volume do cilindro, subtraindo-se o volume da clepsidra (2 vezes o volume do cone).

Então, temos

$V_{esfera}=V_{anti-clepsidra}=V_{cilindro}-2.V_{cone}$

$\Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-2({\frac {\pi .R^{3}}{3}})\Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-{\frac {2\pi .R^{3}}{3}}$

$\Rightarrow V_{esfera}={\frac {6\pi .R^{3}-2\pi .R^{3}}{3}}$

$\Rightarrow V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}$.

Portanto, utilizando o Princípio de Cavalieri, conseguimos deduzir que o volume da esfera é dado por $V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}$, como pretendíamos.

Geogebra e o princípio de Cavalieri

Na plataforma do Geogebra.org é possível obter diversos materiais para simulação do princípio de Cavalieri, além das diversas atividades disponíveis para consultas e estudos.

Leitura adicional

• Andersen, Kirsti. "Cavalieri's Method of Indivisibles", Archive for History of Exact Sciences, 31 (1985), pp. 291–367.
• Lam, Lay-Yong; Shen, Kangsheng. "The Chinese concept of Cavalieri's principle and its applications", Historia Mathematica, 12 (1985), N. 3, pp. 219–228.
• Malet, Antoni (1996). From Indivisibles to Infinitesimals: Studies on Seventeenth-Century Mathematizations of Infinitely Small Quantities. [S.l.]: Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN 978-84-490-0520-6 

Ver também

• Matemática grega