Problema da generalidade múltipla

O problema da generalidade múltipla nomeia uma falha na lógica tradicional, em descrever certas inferências intuitivamente válidas. Por exemplo, é intuitivamente claro que se:

Algum gato é temido por todos os ratos

Então se segue logicamente que: Todos os ratos tem medo de pelo menos um gato A sintaxe lógica tradicional (LT) permite exatamente quatro tipos de sentenças:"Todos As são Bs","Nenhum dos As são Bs","Alguns As são Bs","Alguns dos As não são Bs".Cada tipo é uma sentença quantificada contendo exatamente um quantificador. Uma vez que as sentenças acima contêm dois quantificadores cada ('alguns' e 'todo' na primeira frase e 'todos' e 'pelo menos um' na segunda sentença), elas não podem ser representadas adequadamente na TL. O melhor que a lógica tradicional pode fazer é incorporar o segundo quantificado de cada sentença dentro do segundo termo, portanto renderizando a artificial-sounding terms 'temido-por-todos-os-ratos' e 'medo-de-pelo-menos-um-gato'.Isso "enterra" seus quantificadores,que são essenciais para a validade da inferência,no termos com hífen.Por isso a sentença"Algum gato é temido por todos os ratos" é alocado da mesma forma lógica que a sentença "Alguns gatos estão com fomes".Então na forma lógica LT é :

Alguns As são Bs

Todo Cs são Ds

O que é claramente inválido.

O primeiro cálculo lógico capaz de lidar com tais inferências foi o Begriffsschrift de Gottlob Frege, o ancestral da moderna lógica de predicados, que lida com quantificadores através de ligações entre as variáveis. Modestamente, Frege não argumentou que sua lógica era mais expressiva que o calculo lógico existente, mas os comentadores da lógica de Frege a consideram uma de suas realizações chave.

Usando o moderno predicado de calculo, nós rapidamente descobrimos que a proposição é ambígua.

Algum gato é temido por todos os ratos

Pode significar (Algum gato é temido) por todos os ratos, i.e.

Para todo rato m, existe um gato c, tal que c é temido por m,

$\forall m.\,(\,{\text{Rato}}(m)\rightarrow \exists c.\,({\text{Gato}}(c)\land {\text{Temido}}(m,c))\,)$

Nesse caso a conclusão é trivial.

Mas ela também poderia significar Algum gato é (temido por todos os ratos),ie.

Existe um gato c, tal que para todo rato m, c é temido por m.

$\exists c.\,(\,{\text{Gato}}(c)\land \forall m.\,({\text{Rato}}(m)\rightarrow {\text{Temido}}(m,c))\,)$

Esse exemplo ilustra a importância de especificar o escopo de quantificadores como para todo e existe

Mais Leituras

• Patrick Suppes, Introduction to Logic, D. Van Nostrand, 1957, ISBN 0-422-08072-7
• A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians, Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-29291-3.
• Paul Halmos and Steven Givant, Logic as Algebra, MAA, 1998, ISBN 0-88385-327-2.