Regra do paralelogramo

Na matemática, a regra do paralelogramo (ou identidade do paralelogramo) é uma propriedade de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial munido de um produto interno e, em particular, para um espaço euclidiano.

Um paralelogramo. Os lados estão desenhados em azul e as diagonais em vermelho.

Usando a notação do diagrama à direita, os lados são denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que (AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como:

$$2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}$$

No caso em que o paralelogramo é um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais (AC) = (BD). Nesse caso, a identidade se reduz ao teorema de Pitágoras:

$$2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}$$

valor máximo da soma vetorial (v1+v2) = valor mínimo da soma vetorial (v1+v2) - para qualquer ângulo

Então, assim, todo losango é paralelogramo.

Identidade do paralelogramo em espaços com produto interno

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, uma norma pode ser definida a partir do produto interno:

$$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .$$

Como consequência dessa definição, em um espaço vetorial munido de um produto interno, a identidade do paralelogramo é resultado de manipulações algébricas do produto interno.

Suponhamos que esse seja um espaço vetorial real.

Sejam x e y elementos desse espaço vetorial, então:

$$\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,$$

$$\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .$$

Adicionando essas expressões, estabelecemos a identidade do paralelogramo

$$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},$$

Se x e y são ortogonais nesse espaço, então $\langle x,\ y\rangle =0$ e a equação acima se reduz à

$$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2},$$

que corresponde ao teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados satisfazendo a identidade do paralelogramo

Um fato notável é que pode se definir um produto interno para um espaço vetorial normado sobre R que satisfaz à identidade do paralelogramo. A demonstração desse fato é uma consequência direta das identidades de polarização. Para espaços de Banach complexos, demonstra-se o mesmo resultado a partir do Teorema de Von Neumann - Jordan.