Regra do quociente

Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Pode ser apresentada como:

$$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {gf'-fg'}{g^{2}}}$$

ou, segundo a notação de Leibniz:

$${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}.$$

Demonstração:

$$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\ (I)$$

Então $u(x)=f(x)\cdot v(x)$

Pela regra do produto:

$$u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)\ (II)$$

Utilizando (I) e (II), temos:

$$u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot v'(x)$$

$$u'(x)={\frac {f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}{v(x)}}$$

$$u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

$$u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)$$

$${\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^{2}}}=f'(x)$$

$$f'(x)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}$$