Séries de Ramanujan–Sato

Na matemática, séries de Ramanujan-Sato^[1]^[2] generalizam fórmulas de pi de Ramanujan tais como,

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{k!^{4}}}{\frac {26390k+1103}{396^{4k}}}

para a forma,

{\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }s(k){\frac {Ak+B}{C^{k}}}

utilizando outras sequências bem definidas de inteiros

s(k)

, obedecendo uma certa relação de recorrência, sequências que podem ser expressas em termos de coeficientes binomial

{\textstyle {\tbinom {n}{k}}}

, e

A,B,C

empregando formas modulares de níveis mais elevados.

Ramanujan fez a enigmática observação de que havia "teorias correspondentes", mas foi apenas recentemente que H. H. Chan e S. Cooper encontraram uma abordagem geral que utilizava o subgrupo de congruência modular subjacente $\Gamma _{0}(n)$ ,^[3] enquanto G. Almkvist descobriu experimentalmente vários outros exemplos também com um método geral utilizando operadores diferenciais.^[4]

Os níveis 1–4A foram fornecidos por Ramanujan (1914),^[5] o nível 5 por H. H. Chan e S. Cooper (2012),^[3] o nível 6A por Chan, Tanigawa, Yang e Zudilin,^[6] o nível 6B por Sato (2002),^[7] o nível 6C por H. Chan, S. Chan e Z. Liu (2004),^[1] o nível 6D por H. Chan e H. Verrill (2009),^[8] o nível 7 por S. Cooper (2012),^[9] parte do nível 8 por Almkvist e Guillera (2012),^[2] parte do nível 10 por Y. Yang, e o restante por H. H. Chan e S. Cooper.

A notação $j n (τ)$ é derivada de Zagier e $T n$ se refere às séries de McKay–Thompson relevantes.

Ver também editar

Referências

↑ ^a ^b Chan, Heng Huat; Chan, Song Heng; Liu, Zhiguo (2004). «Domb's numbers and Ramanujan–Sato type series for 1/ $π$ ». Advances in Mathematics. 186 (2): 396–410. doi:10.1016/j.aim.2003.07.012
↑ ^a ^b Almkvist, Gert; Guillera, Jesus (2013). «Ramanujan–Sato-Like Series». In: Borwein, J.; Shparlinski, I.; Zudilin, W. Number Theory and Related Fields. Col: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 43. New York: Springer. pp. 55–74. ISBN 978-1-4614-6641-3. doi:10.1007/978-1-4614-6642-0_2
↑ ^a ^b Chan, H. H.; Cooper, S. (2012). «Rational analogues of Ramanujan's series for 1/π» (PDF). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 153 (2): 361–383. doi:10.1017/S0305004112000254. Arquivado do original (PDF) em 19 de dezembro de 2019
↑ Almkvist, G. (2012). «Some conjectured formulas for 1/π coming from polytopes, K3-surfaces and Moonshine». arXiv:1211.6563
↑ Ramanujan, S. (1914). «Modular equations and approximations to π». Oxford. Quart. J. Math. 45: 350–372
↑ Chan; Tanigawa; Yang; Zudilin (2011). «New analogues of Clausen's identities arising from the theory of modular forms». Advances in Mathematics. 228 (2): 1294–1314. doi:10.1016/j.aim.2011.06.011 . hdl:1959.13/934806
↑ Sato, T. (2002). «Apéry numbers and Ramanujan's series for 1/ $π$ ». Abstract of a Talk Presented at the Annual Meeting of the Mathematical Society of Japan
↑ Chan, H.; Verrill, H. (2009). «The Apéry numbers, the Almkvist–Zudilin Numbers, and new series for 1/π». Mathematical Research Letters. 16 (3): 405–420. doi:10.4310/MRL.2009.v16.n3.a3
↑ Cooper, S. (2012). «Sporadic sequences, modular forms and new series for 1/π». Ramanujan Journal. 29 (1–3): 163–183. doi:10.1007/s11139-011-9357-3

Ligações externas editar

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[Chan_1-1] Chan, Heng Huat; Chan, Song Heng; Liu, Zhiguo (2004). «Domb's numbers and Ramanujan–Sato type series for 1/ $π$ ». Advances in Mathematics. 186 (2): 396–410. doi:10.1016/j.aim.2003.07.012

[Almkvist-2] Almkvist, Gert; Guillera, Jesus (2013). «Ramanujan–Sato-Like Series». In: Borwein, J.; Shparlinski, I.; Zudilin, W. Number Theory and Related Fields. Col: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 43. New York: Springer. pp. 55–74. ISBN 978-1-4614-6641-3. doi:10.1007/978-1-4614-6642-0_2

[Chan_3-3] Chan, H. H.; Cooper, S. (2012). «Rational analogues of Ramanujan's series for 1/π» (PDF). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 153 (2): 361–383. doi:10.1017/S0305004112000254. Arquivado do original (PDF) em 19 de dezembro de 2019

[4] Almkvist, G. (2012). «Some conjectured formulas for 1/π coming from polytopes, K3-surfaces and Moonshine». arXiv:1211.6563

[5] Ramanujan, S. (1914). «Modular equations and approximations to π». Oxford. Quart. J. Math. 45: 350–372

[CTYZ-6] Chan; Tanigawa; Yang; Zudilin (2011). «New analogues of Clausen's identities arising from the theory of modular forms». Advances in Mathematics. 228 (2): 1294–1314. doi:10.1016/j.aim.2011.06.011 . hdl:1959.13/934806

[Sato-7] Sato, T. (2002). «Apéry numbers and Ramanujan's series for 1/ $π$ ». Abstract of a Talk Presented at the Annual Meeting of the Mathematical Society of Japan

[Chan_2-8] Chan, H.; Verrill, H. (2009). «The Apéry numbers, the Almkvist–Zudilin Numbers, and new series for 1/π». Mathematical Research Letters. 16 (3): 405–420. doi:10.4310/MRL.2009.v16.n3.a3

[Cooper_1-9] Cooper, S. (2012). «Sporadic sequences, modular forms and new series for 1/π». Ramanujan Journal. 29 (1–3): 163–183. doi:10.1007/s11139-011-9357-3

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